Analyse de l'énoncé et des notions fondamentales

Cet exercice, tiré de l'épreuve du Brevet 2024 en Amérique du Nord, est un excellent problème concret mobilisant plusieurs domaines mathématiques essentiels en classe de Troisième : la géométrie plane et dans l'espace, le théorème de Pythagore, le calcul d'aires et de périmètres, ainsi que la proportionnalité et les pourcentages (ratios et promotions commerciales). L'enjeu est la construction et l'aménagement d'une terrasse en béton.

La structure de l'exercice impose de passer du plan 2D (vue de dessus) à l'espace 3D (calcul de volume), puis d'appliquer des compétences en arithmétique commerciale et en gestion des proportions (ratios de matériaux).

Points clés de la Géométrie et du Calcul de Volume

La première partie requiert une analyse attentive de la base du prisme droit (la terrasse), le polygone EFGJ, composé d'un rectangle (EFGH) et d'un triangle rectangle (FGJ). La première étape est de vérifier les dimensions. La question 1 permet de confirmer que la longueur $FJ$ vaut $10 ext{ m} - 6 ext{ m} = 4 ext{ m}$.

Pour le calcul du périmètre (Question 2), le Théorème de Pythagore est indispensable dans le triangle rectangle $FGJ$ ($FG=3 ext{ m}$ et $FJ=4 ext{ m}$), donnant l'hypoténuse $GJ = 5 ext{ m}$. Le périmètre total de la base est alors $3 + 6 + 5 + 10 = 24 ext{ m}$.

Le calcul du volume (Question 3.a) exige de trouver l'aire totale de la base $EFGJ$. Aire Rectangle $EFGH = 6 imes 3 = 18 ext{ m}^2$. Aire Triangle $FGJ = 0,5 imes 4 imes 3 = 6 ext{ m}^2$. Aire de la base $= 24 ext{ m}^2$. Avec une hauteur de $15 ext{ cm} = 0,15 ext{ m}$, le volume est $24 imes 0,15 = 3,6 ext{ m}^3$, confirmant qu'il est inférieur aux $4 ext{ m}^3}$ souhaités.

Maîtrise des Ratios et des Optimisations d'Achats

• Proportionnalité et Ratios : La question 3.c exploite le ratio $2:7:5$ pour le mélange de béton. Sachant que 1000 kg de ciment représentent 2 parts, une part correspond à $500 ext{ kg}$. On en déduit aisément la masse de gravier ($7 imes 500 = 3500 ext{ kg}$) et de sable ($5 imes 500 = 2500 ext{ kg}$).
• Gestion Budgétaire et Pourcentages : La dernière question nécessite de calculer la surface à couvrir (2 couches sur $24 ext{ m}^2$, soit $48 ext{ m}^2$) et le volume de peinture requis ($9,6 ext{ L}$). La difficulté réside dans la comparaison des options d'achat, en appliquant correctement la réduction de $50\,\%$ sur le deuxième article identique (Pot A). L'option la moins coûteuse est l'achat de deux pots A (119,85 €) plutôt qu'un pot B (129,90 €).