Analyse de l'énoncé : La géométrie complète en un seul exercice

Cet exercice du Brevet 2024 (Centres étrangers) est une excellente révision générale des outils de géométrie de troisième. Il teste la maîtrise de quatre notions fondamentales : la réciproque du théorème de Pythagore pour prouver la nature d'un triangle, la trigonométrie pour calculer un angle, le théorème de Thalès pour trouver une longueur, et enfin les transformations (homothétie) pour déterminer un rapport de proportionnalité.

L'énoncé fournit un ensemble de longueurs cruciales ($AE=4,4$, $EB=3,3$, $AB=5,5$ et $BD=6,6$) et la condition essentielle de parallélisme entre (FD) et (AB).

Méthodes détaillées et points clés de résolution

Question 1 : Démontrer le triangle rectangle (Réciproque de Pythagore)

Pour prouver qu'un triangle est rectangle lorsque toutes les longueurs sont connues, il faut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. On identifie le côté le plus long (l'hypoténuse potentielle), ici $AB=5,5$.

• Calcul du carré du côté le plus long : $AB^2 = 5,5^2 = 30,25$.
• Calcul de la somme des carrés des deux autres côtés : $AE^2 + EB^2 = 4,4^2 + 3,3^2 = 19,36 + 10,89 = 30,25$.
• Puisque $AB^2 = AE^2 + EB^2$, l'égalité de Pythagore est vérifiée. Le triangle ABE est donc rectangle en E.

Question 2 : Calculer un angle (Trigonométrie)

Puisque le triangle ABE est rectangle en E, nous pouvons utiliser les formules de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente). Pour calculer $\widehat{ABE}$, l'angle B, nous connaissons le côté adjacent $EB=3,3$ et l'hypoténuse $AB=5,5$.

• On utilise le Cosinus : $\cos(\widehat{ABE}) = rac{ ext{Côté adjacent}}{ ext{Hypoténuse}} = rac{EB}{AB} = rac{3,3}{5,5}$.
• Après calcul ($0,6$), on utilise la fonction arc-cosinus ($\cos^{-1}$) sur la calculatrice pour trouver l'angle. L'arrondi au degré donne $\widehat{ABE} = 53^\circ$.

Question 3 : Calculer la longueur FD (Théorème de Thalès)

La condition de parallélisme (FD) // (AB) et l'alignement des points E, A, F et E, B, D permettent d'appliquer le théorème de Thalès.

• Nous cherchons $FD$. Nous calculons d'abord $ED = EB + BD = 3,3 + 6,6 = 9,9$.
• On utilise l'égalité des rapports : $rac{FD}{AB} = rac{ED}{EB}$. Soit $rac{FD}{5,5} = rac{9,9}{3,3}$.
• $FD = 5,5 imes rac{9,9}{3,3}$. Comme $9,9/3,3 = 3$, alors $FD = 5,5 imes 3 = 16,5~ ext{cm}$.

Question 4 : Rapport d'homothétie (Transformations)

L'homothétie de centre E transforme EAB en EFD. Le rapport $k$ est le ratio des distances correspondantes depuis le centre E. $k = rac{ED}{EB} = rac{9,9}{3,3} = 3$. Le rapport est 3.