Introduction aux Probabilités au Brevet des Collèges

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème et un passage quasi obligé lors de l'examen du Brevet. Cet exercice, issu de la session 2018 en Nouvelle-Calédonie, illustre parfaitement ce que l'on attend d'un candidat : savoir modéliser une situation aléatoire simple (ici une roue de loterie) et manipuler les concepts d'équiprobabilité, d'évènement contraire et de réunion d'évènements.

Dans cette situation de kermesse, l'univers est constitué par les différents secteurs de la roue. L'énoncé précise que chaque secteur a autant de chance d'être désigné, ce qui nous place immédiatement dans une situation d'équiprobabilité. C'est l'indice crucial qui permet d'utiliser la formule : P(E) = (Nombre d'issues favorables) / (Nombre total d'issues).

Analyse de l'Énoncé : Identifier l'Espace Échantillonnal

Avant de répondre aux questions, un travail préliminaire sur la figure LaTeX est nécessaire. En observant les commandes de construction de la roue (\multido{\n=15+45}{6}), on s'aperçoit que la roue est divisée en secteurs réguliers de 45 degrés. Un cercle complet faisant 360°, on divise 360 par 45 pour obtenir un total de 8 secteurs égaux.

Recensons maintenant les lots par secteur :
- Jouet : 5 secteurs (situés à 37.5, 127.5, 162.5, 254.5 et 299.5 degrés).
- Casquette : 1 secteur (situé à 82.5 degrés).
- Bonbons : 2 secteurs (situés à 217.5 et -7.5 degrés).

Analyse de la Question 1.a : Calcul de la Probabilité de Gagner des Bonbons

Pour calculer la probabilité de l'évènement "on gagne des bonbons", il suffit de compter le nombre de secteurs correspondant à ce lot. Nous avons identifié 2 secteurs "Bonbons" sur un total de 8 secteurs. La probabilité est donc de 2/8. En mathématiques au Brevet, il est toujours recommandé de simplifier ses fractions pour montrer sa maîtrise du calcul numérique. Ainsi, 2/8 se simplifie en 1/4 (soit 0,25 ou 25% de chance).

Analyse de la Question 1.b : Définir l'Évènement Contraire

Cette question évalue la compétence de communication et la maîtrise du vocabulaire spécifique. L'évènement contraire d'un évènement A (noté non-A ou A barre) est l'évènement qui se réalise quand A ne se réalise pas. Si l'évènement A est "on gagne des bonbons", l'évènement contraire est simplement : "on ne gagne pas de bonbons". Dans le contexte de l'exercice, cela revient également à dire : "on gagne un jouet ou une casquette". Il est toutefois plus rigoureux d'utiliser la négation directe pour définir l'évènement contraire.

Analyse de la Question 1.c : Calcul de la Probabilité de l'Évènement Contraire

Il existe deux méthodes pour répondre à cette question. La première consiste à compter les secteurs restants (5 jouets + 1 casquette = 6 secteurs), soit 6/8. La seconde méthode, plus élégante et attendue par les correcteurs, utilise la propriété du cours : P(non-A) = 1 - P(A). En utilisant le résultat de la question 1.a, on obtient : 1 - 2/8 = 8/8 - 2/8 = 6/8. Après simplification, on trouve 3/4 (soit 0,75 ou 75% de chance).

Analyse de la Question 2 : Probabilité d'une Réunion d'Évènements

On nous demande ici la probabilité de gagner "une casquette OU des bonbons". Le "OU" en mathématiques désigne l'union d'évènements. Puisque les secteurs sont distincts, les évènements "gagner une casquette" et "gagner des bonbons" sont incompatibles (on ne peut pas gagner les deux en un seul lancer). On additionne donc les probabilités individuelles :
- 1 secteur pour la casquette.
- 2 secteurs pour les bonbons.
Total : 3 secteurs favorables sur 8. La probabilité est donc de 3/8. Cette fraction n'étant pas simplifiable, on peut la laisser telle quelle ou donner sa valeur décimale : 0,375.

Les Pièges Classiques à Éviter

1. Mauvais décompte des secteurs : Prenez le temps de bien lire le schéma. Une erreur de comptage au début fausse l'intégralité de l'exercice.
2. Oubli de la simplification : Même si une fraction non simplifiée est juste, elle peut coûter une partie des points de précision.
3. Confusion sur l'évènement contraire : L'évènement contraire n'est pas "gagner autre chose", c'est strictement l'exclusion de l'évènement initial.
4. Ne pas citer l'équiprobabilité : Pour justifier vos calculs, mentionnez toujours que la roue est équilibrée ou que chaque secteur a la même chance d'être choisi.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points : structurez vos réponses. Commencez par annoncer la formule utilisée. Par exemple : "Nous sommes en situation d'équiprobabilité, donc P = (cas favorables) / (cas possibles)". Montrez vos calculs intermédiaires, notamment pour les passages au même dénominateur lors du calcul de l'évènement contraire. Enfin, terminez chaque question par une phrase de conclusion claire soulignant le résultat final.