Introduction aux Fonctions et Modélisation au Brevet
L'exercice 3 du sujet de Brevet de mathématiques de Polynésie 2018 porte sur une notion fondamentale du programme de 3ème : les fonctions. À travers la gestion d'un budget pour un magazine sportif, les élèves sont amenés à manipuler des fonctions linéaires, affines et constantes. La maîtrise de ces concepts est cruciale car ils représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. L'objectif ici n'est pas seulement de calculer, mais de comprendre comment traduire une situation concrète (un prix de vente ou un abonnement) en un objet mathématique exploitable graphiquement.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
L'énoncé présente trois tarifs distincts, que nous pouvons traduire immédiatement en expressions algébriques pour mieux les appréhender :
- Formule A : 3,75 € par magazine. C'est une situation de proportionnalité pure. Si l'on note $x$ le nombre de magazines, le coût est $f(x) = 3,75x$. C'est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.
- Formule B : 130 € pour l'année, quel que soit le nombre de magazines. Le coût est constant : $g(x) = 130$. C'est une fonction constante. Sa représentation est une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
- Formule C : Un forfait fixe de 30 € plus 2,25 € par magazine. Le coût est $h(x) = 2,25x + 30$. C'est une fonction affine. Sa représentation est une droite ne passant pas par l'origine, dont l'ordonnée à l'origine est 30.
Question 1 : Association Formules et Graphiques
Pour réussir cette question, il faut observer les caractéristiques de chaque droite $(D_1)$, $(D_2)$ et $(D_3)$ sur le graphique fourni. La droite $(D_2)$ est une ligne horizontale à l'ordonnée 130 : elle correspond donc à la Formule B (abonnement fixe). La droite $(D_3)$ passe par l'origine $(0,0)$ : elle représente la proportionnalité, soit la Formule A. Enfin, la droite $(D_1)$ commence au point $(0 ; 30)$ sur l'axe des ordonnées : elle correspond à la Formule C (prix fixe de 30€ au départ).
Question 2 : Lecture Graphique et Recherche d'Antécédents
La lecture graphique demande de la précision. Pour la question 2a, on cherche le coût de 16 magazines avec la formule A. On repère 16 sur l'axe des abscisses (Nombre de magazines), on monte verticalement jusqu'à la droite $(D_3)$, puis on lit horizontalement la valeur sur l'axe des ordonnées. On doit trouver $3,75 \times 16 = 60$ €. Pour la question 2b, on cherche le nombre de magazines avec 120 € pour la formule C. On part de 120 sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à $(D_1)$, puis on descend lire le nombre de magazines sur l'axe des abscisses. Le graphique doit indiquer environ 40 magazines ($2,25 \times 40 + 30 = 120$). Enfin, pour un budget de 100 €, on trace une ligne horizontale à $y=100$. On regarde quelle droite se trouve le plus à droite (plus grand $x$) pour cette valeur. C'est la droite $(D_1)$ (Formule C) qui permet d'obtenir le plus de magazines pour cette somme.
Question 3 : Comparaison et Optimisation
Déterminer la formule la plus avantageuse revient à identifier quelle droite se situe « en dessous » des autres selon l'intervalle de magazines choisis :
- Pour un petit nombre de magazines (de 0 à 20 environ), la Formule A (droite $D_3$) est la moins chère car elle commence à 0.
- Ensuite, la Formule C (droite $D_1$) devient la plus rentable jusqu'à un certain point.
- Pour un très grand nombre de magazines (au-delà de 44-45 magazines par an), l'abonnement fixe Formule B (droite $D_2$) devient le choix le plus économique car le coût n'augmente plus.
Les Pièges à Éviter
Attention à ne pas confondre l'axe des abscisses (les $x$, le nombre de magazines) et l'axe des ordonnées (les $y$, le prix en euros). Une erreur fréquente est d'oublier de tracer les pointillés de construction. Même si le résultat est juste, l'absence de traits sur le graphique peut coûter des points au Brevet. De plus, soyez attentifs aux échelles : ici, un petit carreau en abscisse ne vaut pas forcément 1 unité.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour maximiser vos points, ne donnez pas simplement le résultat. Utilisez des phrases de type : « Par lecture graphique, en partant de l'abscisse 16 vers la droite $(D_3)$, on lit une ordonnée de 60. » Cela prouve au correcteur que vous avez compris la méthode. N'oubliez jamais les unités (€, magazines) dans vos réponses finales. La clarté de votre raisonnement est tout aussi importante que la justesse du calcul.