Introduction aux grandeurs composées et à la géométrie du Brevet
L'exercice 8 du sujet de Brevet 2019 de Nouvelle-Calédonie est un cas pratique particulièrement intéressant pour les élèves de troisième. Il mobilise des compétences clés du cycle 4, notamment le calcul d'aires de triangles et l'utilisation de la géométrie de base (Pythagore et trigonométrie) dans un contexte de la vie courante. Le thème central repose sur les grandeurs composées : ici, la surface exprimée en mètres carrés ($m^2$), qui est le produit de deux longueurs. Comprendre comment passer d'une dimension linéaire à une dimension surfacique est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques.
Analyse Méthodique du Problème de Lisa
La problématique est simple : Lisa doit choisir une voile d'ombrage dont l'aire $A$ est supérieure ou égale à $8\text{ m}^2$. Le sujet fournit un rappel crucial sur la formule de l'aire d'un triangle rectangle : $A = \frac{h \times b}{2}$. L'analyse doit se faire modèle par modèle en vérifiant systématiquement cette condition d'aire minimale.
Étude détaillée du Modèle 1 : Application directe
Pour le premier modèle, les dimensions sont données directement sur le schéma. Nous avons une base $b = 4\text{ m}$ et une hauteur $h = 3,5\text{ m}$. Le triangle est rectangle, ce qui permet d'appliquer immédiatement la formule. Le calcul est le suivant : $A_1 = \frac{4 \times 3,5}{2} = \frac{14}{2} = 7\text{ m}^2$. En comparant ce résultat à la contrainte de Lisa ($7 < 8$), on conclut immédiatement que le Modèle 1 ne convient pas.
Étude détaillée du Modèle 2 : Le détour par Pythagore
Le Modèle 2 présente un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse ($5\text{ m}$) et l'un des côtés de l'angle droit ($3\text{ m}$). C'est ici que l'exercice devient plus technique. Pour calculer l'aire, il nous manque la mesure du second côté de l'angle droit (la base $PT$ ou la hauteur $PO$). En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $POT$ rectangle en $P$, on a : $PO^2 + PT^2 = OT^2$, soit $3^2 + PT^2 = 5^2$. On obtient $9 + PT^2 = 25$, d'où $PT^2 = 16$ et donc $PT = 4\text{ m}$. Maintenant que nous avons la base ($4\text{ m}$) et la hauteur ($3\text{ m}$), calculons l'aire : $A_2 = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ m}^2$. Ce modèle ne convient pas non plus car $6 < 8$.
Étude détaillée du Modèle 3 : Trigonométrie et Isométrie
Le Modèle 3 est le plus complexe. Il s'agit d'un triangle rectangle $MUR$ en $U$ avec un angle de $45^\circ$ et une hypoténuse de $6\text{ m}$. Puisque la somme des angles d'un triangle est de $180^\circ$ et qu'un angle vaut $90^\circ$ et l'autre $45^\circ$, le troisième angle mesure forcément $45^\circ$ ($180 - 90 - 45$). C'est donc un triangle rectangle isocèle. Pour trouver les côtés $UM$ et $UR$, on utilise le cosinus ou le sinus : $\cos(45^\circ) = \frac{UR}{6}$, donc $UR = 6 \times \cos(45^\circ) \approx 4,24\text{ m}$. L'aire est alors $A_3 = \frac{4,24 \times 4,24}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ m}^2$. Puisque $9 > 8$, le Modèle 3 convient parfaitement.
Les Pièges à éviter le jour de l'examen
Attention à plusieurs points critiques. Premièrement, ne confondez pas l'hypoténuse avec la base ou la hauteur lors du calcul de l'aire. Dans le Modèle 2, multiplier $3$ par $5$ aurait été une erreur fatale. Deuxièmement, n'oubliez jamais de diviser par $2$ dans la formule de l'aire du triangle ; c'est l'erreur la plus fréquente chez les candidats. Enfin, veillez à la précision des arrondis : pour le Modèle 3, utilisez la valeur exacte $\sqrt{18}$ ou les fonctions trigonométriques pour éviter une erreur de précision qui pourrait fausser votre comparaison finale.
Conseils de rédaction pour maximiser vos points
Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez votre réponse : 1. Nommez le modèle étudié. 2. Énoncez la propriété ou le théorème utilisé (exemple : 'D'après le théorème de Pythagore...'). 3. Présentez le calcul de manière claire. 4. Concluez par une phrase de comparaison explicite par rapport à la valeur de référence de $8\text{ m}^2$. Une copie propre et argumentée rassure le correcteur sur votre maîtrise des grandeurs composées et de la logique mathématique.