Introduction à l'algorithmique au Brevet de Mathématiques

L'algorithmique est devenue une composante essentielle du diplôme national du brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2019 en Amérique du Sud est un modèle du genre : il demande à l'élève de passer d'un code visuel (blocs Scratch) à une interprétation géométrique concrète. La thématique de la frise et des blocs personnalisés (les sous-programmes) est récurrente. Maîtriser ce chapitre, c'est s'assurer des points précieux sur des notions de logique plutôt que de purs calculs arithmétiques. Nous allons décomposer ici le fonctionnement du script pour comprendre comment le lutin interagit avec le stylo et l'espace de travail.

Question 1 : Calculer la distance parcourue par le lutin pour un motif

Pour répondre à cette question, il ne faut pas regarder le script principal, mais se focaliser sur le bloc définir Motif. C'est ici que sont listées les instructions de mouvement élémentaires qui constituent une seule unité de la frise. Analysons les instructions de déplacement une par une :

• 1. avancer de 20 : Le lutin commence par tracer un segment de 20 unités.
• 2. tourner à droite de 60 degrés : Cette instruction change l'angle mais ne parcourt aucune distance.
• 3. avancer de 40 : Un deuxième segment est tracé.
• 4. tourner à gauche de 120 degrés : Nouveau changement de direction sans déplacement.
• 5. avancer de 40 : Un troisième segment est tracé.

Pour obtenir la distance totale, on effectue la somme arithmétique des déplacements linéaires : \( 20 + 40 + 40 = 100 \). La distance parcourue par le lutin pour tracer un seul motif est donc de 100 unités (ou pas). Il est crucial ici de ne pas se laisser distraire par les angles de rotation qui n'influencent en rien la longueur du trajet, seulement sa forme.

Question 2 : Comprendre l'état du stylo et le tracé continu

Cette question teste votre capacité à anticiper les effets d'une modification mineure dans un script. Dans le programme initial, l'instruction relever le stylo à la fin du bloc Motif permettait de se déplacer vers le motif suivant sans laisser de trace. Le script principal contient en effet une boucle : répéter 4 fois [Motif ; avancer de 30].

Si l'on supprime l'instruction relever le stylo, le stylo reste en position d'écriture pendant toute la durée de la boucle. Cela signifie qu'après avoir fini le tracé du motif (les trois segments calculés précédemment), le lutin va tracer un segment horizontal supplémentaire de 30 unités (le avancer de 30 du script principal) pour rejoindre le point de départ du motif suivant.

Conseil de dessin : Pour votre dessin à main levée, vous devez reproduire la frise originale (les 'pics') mais en reliant le bas du dernier segment de chaque pic au début du segment horizontal du pic suivant par un trait horizontal continu. Il n'y a plus d'espaces vides entre les motifs.

Question 3 : L'importance de l'orientation relative et absolue

C'est la question la plus technique de l'exercice. Elle repose sur la distinction entre une orientation absolue (fixe) et une orientation relative (cumulée).

Dans le bloc initial, l'instruction s'orienter à 90 remettait le lutin 'face à la droite' à la fin de chaque motif, peu importent les rotations effectuées à l'intérieur du bloc. Cela garantissait que chaque motif commençait avec la même inclinaison, créant une translation horizontale parfaite (Frise 1).

Dans le nouveau bloc proposé, cette instruction de remise à zéro de l'angle a disparu. Or, si l'on calcule le bilan des rotations à l'intérieur du motif :
- On tourne à droite de 60° (soit -60° dans le repère trigonométrique standard de Scratch).
- On tourne à gauche de 120° (soit +120°).
Le bilan est une rotation nette de \( 120 - 60 = 60 \) degrés vers la gauche par rapport à l'orientation initiale.

Puisque le lutin finit chaque motif avec un angle différent de celui de départ (décalé de 60°), le motif suivant ne sera pas aligné horizontalement mais sera incliné. C'est ce qui provoque un effet de rotation globale de la frise. C'est pourquoi on obtient la Frise n°2. La Frise 2 montre des motifs qui pivotent autour d'un point central, ce qui correspond mathématiquement à la répétition d'une rotation de 60° (formant un début d'hexagone, car \( 6 \times 60 = 360 \)).

Les pièges classiques à éviter le jour de l'épreuve

1. Confondre avancer et s'orienter : 'Avancer' crée une ligne, 's'orienter' définit juste la direction du prochain trait. Ne comptez jamais les degrés dans un calcul de distance !
2. Oublier le stylo : Dans Scratch, si le stylo n'est pas relevé, chaque mouvement laisse une trace. C'est un point souvent testé dans les questions de modification de script.
3. Négliger les boucles : Regardez toujours combien de fois le motif se répète (ici 4 fois) pour valider la longueur totale de votre schéma ou de votre calcul.

Méthodologie pour rédiger une réponse d'algorithmique

Pour obtenir le maximum de points, ne donnez pas juste le résultat. Utilisez des phrases de liaison : "D'après le bloc Motif, on observe trois instructions de mouvement...". Pour la question 3, expliquez clairement que "l'absence de remise à l'angle initial provoque un cumul des rotations". C'est cette démonstration logique que les correcteurs attendent, car elle prouve que vous avez compris la structure du programme et pas seulement deviné l'image.