Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet Polynésie 2015, est un support pédagogique idéal pour réviser les fondamentaux de la géométrie plane. Bien qu'ancré dans un contexte de fin de collège, son analyse au niveau Première Spécialité permet de consolider la rigueur démonstrative et de préparer l'introduction du produit scalaire par l'étude de l'orthogonalité. L'énoncé présente une figure composée de triangles imbriqués où l'on doit successivement prouver un angle droit, calculer une longueur manquante, déterminer une mesure d'angle et appliquer un rapport de réduction via le théorème de Thalès.

Points de vigilance et notions de cours requises

Pour aborder cet exercice avec succès, l'élève doit maîtriser plusieurs concepts clés :

• La réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés.
• Le théorème de Pythagore : Outil principal pour le calcul de distances dans des configurations orthogonales.
• Les rapports trigonométriques : Comprendre le lien entre les longueurs des côtés et les angles dans un triangle rectangle (Sinus, Cosinus, Tangente).
• Le théorème de Thalès : Identifier la configuration (ici des triangles ayant un sommet commun avec des bases parallèles) et établir l'égalité des rapports.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 2 : Démontrer que (IK) et (JH) sont perpendiculaires. Dans le triangle JHK, identifions le plus long côté qui est JK = 4 cm. Calculons séparément les carrés : $JK^2 = 4^2 = 16$. D'autre part, la somme des carrés des deux autres côtés est $JH^2 + HK^2 = 3,2^2 + 2,4^2 = 10,24 + 5,76 = 16$. Puisque $JK^2 = JH^2 + HK^2$, la réciproque du théorème de Pythagore s'applique : le triangle JHK est rectangle en H. On en conclut que la droite (JH) est perpendiculaire à la droite (IK).

Question 3 : Démontrer que IH = 6 cm. Les points I, H et K étant alignés, et (JH) étant perpendiculaire à (IK), le triangle IJH est rectangle en H. Nous appliquons le théorème de Pythagore : $IJ^2 = IH^2 + JH^2$. En substituant les valeurs connues, nous obtenons $6,8^2 = IH^2 + 3,2^2$, soit $46,24 = IH^2 + 10,24$. En isolant $IH^2$, on trouve $IH^2 = 36$. La longueur étant positive, $IH = \sqrt{36} = 6$ cm.

Question 4 : Calculer la mesure de l'angle HJK. Dans le triangle JHK rectangle en H, nous pouvons utiliser la tangente de l'angle $\widehat{HJK}$. $\tan(\widehat{HJK}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{HK}{JH} = \frac{2,4}{3,2} = 0,75$. À l'aide de la fonction $\arctan$ de la calculatrice, on obtient $\widehat{HJK} \approx 37^{\circ}$ (arrondi au degré près).

Question 6 : Pourquoi LK = 0,4 x IJ ? Les droites (IJ) et (LK) sont parallèles par construction. Les triangles HIJ et HKL forment une configuration de Thalès de sommet H. Ainsi, les rapports de longueurs sont égaux : $\frac{HK}{HI} = \frac{HL}{HJ} = \frac{LK}{IJ}$. En utilisant le rapport $\frac{HK}{HI} = \frac{2,4}{6} = 0,4$, on en déduit directement que $\frac{LK}{IJ} = 0,4$, soit $LK = 0,4 \times IJ$. Cela correspond à une homothétie de centre H et de rapport -0,4 si l'on considère les vecteurs.