Analyse de l'énoncé : De la Géométrie de Collège à la Spécialité Première

Cet exercice, bien qu'initialement proposé en 2015, mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de faire le pont entre la géométrie plane classique et les nouveaux outils tels que le théorème d'Al-Kashi et le produit scalaire. Nous sommes en présence d'un segment [AB] de longueur 12 cm, dont le milieu O est le centre d'un cercle passant par A. Par définition, ce cercle a pour rayon $R = 6$ cm. Le point C appartient à ce cercle et la corde [AC] mesure 6 cm.

Points de vigilance et notions de cours

• Propriété du cercle circonscrit : Le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB], ce qui est une configuration typique pour démontrer l'orthogonalité.
• Théorème d'Al-Kashi : Pour calculer BC, si l'on ne suppose pas immédiatement le triangle rectangle, on peut utiliser $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.
• Relations trigonométriques : La maîtrise des valeurs remarquables ($\cos(30^\circ)$, $\sin(60^\circ)$) est indispensable.
• Calcul d'aire : En Première, on utilise souvent la formule $Aire = \frac{1}{2}ab \sin(C)$ pour n'importe quel triangle.

Correction détaillée et Guide de résolution

Question a : Le triangle ABC est-il rectangle ?
VRAI. Le point O est le milieu de [AB] et le cercle de centre O passant par A passe aussi par B. Comme C appartient à ce cercle, le triangle ABC est inscrit dans un cercle dont le côté [AB] est un diamètre. Un tel triangle est nécessairement rectangle en C. On peut aussi le vérifier par le produit scalaire $\vec{OC} \cdot \vec{AB}$ ou en observant que la médiane issue de C est égale à la moitié du côté opposé.

Question b : BC mesure-t-il 10 cm ?
FAUX. Dans le triangle ABC rectangle en C, nous utilisons la trigonométrie : $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{BC}{AB}$. On a donc $\cos(30^\circ) = \frac{BC}{12}$. En isolant BC, on obtient $BC = 12 \times \cos(30^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$. La valeur exacte est $6\sqrt{3} \approx 10,39$ cm, ce qui est différent de 10 cm.

Question c : L'angle $\widehat{AOC}$ mesure-t-il 60° ?
VRAI. Le triangle AOC est isocèle en O car OA et OC sont des rayons du cercle ($OA = OC = 6$ cm). De plus, l'énoncé précise que $AC = 6$ cm. Le triangle AOC est donc équilatéral. Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60°.

Question d : L'aire du triangle ABC est-elle $18\sqrt{3}$ cm² ?
VRAI. L'aire $A$ est donnée par $\frac{AC \times BC}{2}$ puisque le triangle est rectangle en C. $A = \frac{6 \times 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ cm². On aurait pu utiliser la formule de Première : $Area = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC})$. Comme le triangle est rectangle en C et $\widehat{B} = 30^\circ$, alors $\widehat{A} = 60^\circ$. $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 \times \sin(60^\circ) = 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ cm².

Question e : L'angle $\widehat{BOC}$ mesure-t-il 31° ?
FAUX. Les points A, O et B sont alignés dans cet ordre. L'angle $\widehat{AOB}$ est un angle plat de 180°. Puisque $\widehat{AOC} = 60^\circ$ (vu en question c), l'angle $\widehat{BOC}$ est son supplémentaire : $\widehat{BOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.