Analyse de l'énoncé et contexte
Cet exercice, issu du sujet 2018 (Zone Étrangers), propose une mise en situation concrète dans le domaine du maraîchage. Il combine deux piliers fondamentaux des mathématiques de Première Spécialité : la géométrie plane (via l'application du théorème de Thalès) et l'algorithmie (structuration de boucles et de sous-programmes). Bien que présenté sous forme de blocs Scratch, la logique de programmation est identique à celle attendue en Python dans le programme actuel.
Points de vigilance et notions requises
- Théorème de Thalès : Savoir identifier une configuration triangulaire avec des droites parallèles.
- Algorithmique : Comprendre la notion de répétition (boucle FOR) et la gestion des états (position et orientation de l'objet).
- Lecture de schéma : Attention aux unités et aux espacements (1 m entre chaque allée).
Guide de résolution détaillé
Partie A : Géométrie
Le robot évolue dans une parcelle triangulaire BCF. On nous donne $BC = 80$ m (car BC est la 48e allée, identique à la première PQ). On sait que les allées sont espacées de 1 m. Le point D se situe donc sur le segment [BF] à une distance de 1 m du point B. On a alors :
- $BF = 5$ m
- $BD = 1$ m donc $FD = FB - BD = 5 - 1 = 4$ m.
Comme les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles et que les points $F, D, B$ d'une part et $F, E, C$ d'autre part sont alignés, nous appliquons le théorème de Thalès :
$\frac{FD}{FB} = \frac{DE}{BC}$ soit $\frac{4}{5} = \frac{DE}{80}$.
Par un produit en croix, on obtient : $DE = \frac{4 \times 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ m. La longueur de la dernière allée est bien de 64 mètres.
Partie B : Programmation du robot
1. Motif montant (P-Q-R) : Pour monter l'allée, tourner et se placer pour la suivante, les blocs sont :
1. Avancer de 80 (parcours PQ).
2. Tourner à droite de 90 degrés.
3. Avancer de 1 (écart entre les allées).
4. Tourner à droite de 90 degrés.
2. Motif descendant (R-S-T) : La structure est identique, mais les rotations sont inversées pour revenir vers le bas du champ. Il suffit de remplacer « tourner à droite » par « tourner à gauche ».
3. Paramètres x et y : Le robot doit parcourir 49 allées. La boucle principale contient un motif montant et un motif descendant, soit 2 allées par répétition. Pour couvrir 48 allées (de la 1ère à la 48e), il faut répéter le cycle $x = 24$ fois. Ensuite, pour parcourir la 49e allée (DE), le robot doit avancer de sa longueur, soit $y = 64$.