Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité, notamment pour illustrer la notion de suites arithmétiques dans un contexte concret. L'énoncé nous présente deux structures géométriques dont les dimensions suivent une progression linéaire décroissante. L'objectif est de comparer des volumes et de manipuler des grandeurs proportionnelles (ratios et recettes).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisables :
- Modélisation par les suites : La diminution constante du diamètre ou du côté de 8 cm à chaque étage évoque immédiatement une suite arithmétique de raison $r = -8$.
- Géométrie dans l'espace : Il est crucial de ne pas confondre le rayon et le diamètre pour le calcul du volume du cylindre ($V = \pi r^2 h$).
- Proportionnalité : La gestion des ratios et des ingrédients demande une rigueur sur les produits en croix et les fractions irréductibles.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul du ratio et de la farine
Le ratio beurre/chocolat est de $75/100$. En simplifiant par 25, on obtient la fraction irréductible $\frac{3}{4}$. Pour la farine, si $100$ g de chocolat nécessitent $30$ g de farine, alors $250$ g (soit $2,5$ fois plus) nécessitent $30 \times 2,5 = 75$ g de farine.
2. Étude de la Tour Carrée
La base commence à $24$ cm. C'est une suite arithmétique : $u_1 = 24$, $u_2 = 16$, $u_3 = 8$. Le plus petit gâteau a donc un côté de $8$ cm. Son volume total est la somme des volumes des trois pavés : $V_{carrée} = 8 \times (24^2 + 16^2 + 8^2) = 8 \times (576 + 256 + 64) = 7168 \text{ cm}^3$.
3. Étude de la Tour de Pise
Ici, nous avons 4 étages. Les diamètres sont $30, 22, 14, 6$. Les rayons correspondants sont $15, 11, 7, 3$. Le volume total est : $V_{pise} = \pi \times 6 \times (15^2 + 11^2 + 7^2 + 3^2) = 6\pi \times (225 + 121 + 49 + 9) = 2424\pi$. En prenant $\pi \approx 3,14$, on obtient environ $7615 \text{ cm}^3$.
Conclusion
En comparant les deux résultats, on constate que la Tour de Pise ($7615 \text{ cm}^3$) possède un volume supérieur à la Tour Carrée ($7168 \text{ cm}^3$).