Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2019, mobilise des compétences fondamentales en calcul algébrique et en arithmétique indispensables au programme de Première Spécialité. Il repose sur la manipulation des puissances et la décomposition en facteurs premiers, des outils cruciaux pour aborder les suites géométriques ou la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions requises

• Propriétés des exposants : Il est essentiel de maîtriser les règles $(a^n)^m = a^{n imes m}$ et $(ab)^n = a^n b^n$.
• Décomposition : Un nombre entier peut être décomposé de manière unique en produit de nombres premiers.
• Résolution d'équations de type $x^n = k$ : Ici, l'utilisation de l'exposant fractionnaire ou la comparaison des décompositions permet de trouver la solution.

Correction Détaillée

1. Étude du nombre 2744 :

• a. Décomposition : En divisant par les plus petits nombres premiers successifs, on obtient : $2744 = 2 imes 1372 = 2^2 imes 686 = 2^3 imes 343 = 2^3 imes 7 imes 49 = 2^3 imes 7^3$.
• b. Carré du nombre : $2744^2 = (2^3 imes 7^3)^2 = 2^{3 imes 2} imes 7^{3 imes 2} = 2^6 imes 7^6$.
• c. Recherche de $x$ : On cherche $x$ tel que $x^3 = 2^6 imes 7^6$. En posant $x = 2^a imes 7^b$, on a $x^3 = 2^{3a} imes 7^{3b}$. Par identification, $3a = 6$ et $3b = 6$, donc $a = 2$ et $b = 2$. Ainsi, $x = 2^2 imes 7^2 = 4 imes 49 = 196$.

2. Généralisation $a^3 = b^2$ :

• a. Cas $a = 100$ : $a^3 = 100^3 = (10^2)^3 = 10^6$. Comme $b^2 = 10^6$, on en déduit $b = \sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$.
• b. Recherche de petits entiers : On cherche $a \in [2 ; 10]$ tel que $a^3$ soit un carré parfait. Testons les valeurs : $2^3=8$ (non), $3^3=27$ (non), $4^3=64$. Puisque $64 = 8^2$, le couple $(a ; b) = (4 ; 8)$ convient.