Analyse de l'épreuve d'arithmétique
Cet exercice, bien que tiré d'un sujet de brevet (DNB), mobilise des compétences fondamentales en arithmétique qui sont essentielles pour aborder les structures de données en 1ère Spécialité et l'algorithmique. L'objectif est de manipuler la décomposition en facteurs premiers pour résoudre un problème de partage équitable (recherche du PGCD) et d'utiliser la division euclidienne pour l'optimisation de ressources.
Points de vigilance et notions clés
Pour réussir ce type d'exercice, il est impératif de maîtriser les critères de divisibilité classiques (par 2, 3, 5) et la liste des premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...). Le point critique ici réside dans la compréhension que 'le plus grand nombre de paniers' correspond au Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des quantités de légumes, tandis que la gestion des restes fait appel aux multiples.
Correction détaillée
1. Décomposition et partage maximal :
- 78 : C'est un nombre pair, donc $78 = 2 \times 39$. On sait que $39 = 3 \times 13$. Ainsi, $78 = 2 \times 3 \times 13$.
- 51 : La somme de ses chiffres est $5+1=6$, donc il est divisible par 3. $51 = 3 \times 17$.
Pour trouver le nombre maximal de paniers, on cherche le facteur commun aux trois nombres (39, 78, 51). Le seul facteur commun est 3. José peut donc préparer 3 paniers au maximum.
Composition de chaque panier :
- Salades : $39 / 3 = 13$
- Carottes : $78 / 3 = 26$
- Aubergines : $51 / 3 = 17$
2. Gestion d'un nombre de paniers imposé (13) :
José décide de faire 13 paniers. Pour les aubergines (51 au total), on effectue la division euclidienne de 51 par 13. $51 = 13 \times 3 + 12$. Chaque panier contiendra 3 aubergines et il en restera 12 non utilisées.
Pour utiliser toutes les aubergines, il faut que le total soit un multiple de 13. Le multiple suivant 51 est $13 \times 4 = 52$. José doit donc cueillir 1 aubergine supplémentaire ($52 - 51 = 1$).
Optimisation des tomates
On cherche un multiple de 13 compris entre 110 et 125. Listons les multiples de 13 proches : $13 \times 8 = 104$ (trop petit) et $13 \times 9 = 117$. Le multiple suivant est $13 \times 10 = 130$ (trop grand). José doit donc cueillir 117 tomates pour que chaque panier en contienne exactement 9 sans aucune perte.