Analyse de l'énoncé : Un problème concret d'arithmétique
Cet exercice nous place dans une situation pratique : le pavage d'une surface rectangulaire de 108 cm par 225 cm avec des carreaux carrés. La contrainte principale est l'absence de découpe, ce qui signifie mathématiquement que la longueur du côté du carré doit être un diviseur commun des deux dimensions du mur. Ce type de problème est une introduction parfaite à l'algorithmie de la division euclidienne et à la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour aborder sereinement ce problème, plusieurs notions doivent être maîtrisées :
- La divisibilité : Un nombre $a$ est divisible par $b$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
- Le PGCD : Le plus grand diviseur commun à deux entiers. Il correspond ici à la taille maximale du carreau permettant de paver la surface sans reste.
- L'algorithme d'Euclide : Une méthode systématique pour trouver le PGCD en effectuant des divisions successives.
- Calcul d'aire et de quantité : Pour trouver le nombre total de carreaux, on peut soit diviser l'aire totale par l'aire d'un carreau, soit multiplier le nombre de carreaux sur la longueur par le nombre de carreaux sur la largeur.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Vérification des dimensions proposées
Pour savoir si Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm, nous vérifions si 3 divise 108 et 225 :
$\frac{108}{3} = 36$ (entier)
$\frac{225}{3} = 75$ (entier)
Les deux divisions tombent juste, donc Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm.
Pour les carreaux de 6 cm :
$\frac{108}{6} = 18$ (entier)
$\frac{225}{6} = 37,5$ (non entier)
Comme 6 ne divise pas 225, elle ne peut pas utiliser des carreaux de 6 cm sans découpe.
2. Détermination de la dimension maximale (PGCD)
Nous cherchons le $PGCD(225, 108)$ en utilisant l'algorithme d'Euclide :
$225 = 108 \times 2 + 9$
$108 = 9 \times 12 + 0$
Le dernier reste non nul est 9. Le PGCD est donc 9. La dimension maximale des carreaux est de 9 cm.
3. Calcul du nombre de carreaux
Calculons le nombre de carreaux nécessaires sur chaque côté :
Sur la longueur : $225 / 9 = 25$ carreaux.
Sur la largeur : $108 / 9 = 12$ carreaux.
Nombre total de carreaux : $25 \times 12 = 300$.
Carole utilisera donc 300 carreaux de 9 cm de côté.