Analyse de l'énoncé : Le Cône, de la Géométrie Plane à la Géométrie Spatiale
Cet exercice 5, issu de la session 2024 du Brevet des collèges (Centres étrangers), est une excellente révision des chapitres de géométrie spatiale et plane vus en classe de Troisième. Il utilise l'objet simple du chapeau conique pour aborder successivement le Théorème de Pythagore, le calcul des aires et périmètres, la proportionnalité (pour le patron) et enfin les volumes et les effets d'une réduction. C'est un sujet complet qui teste l'aptitude de l'élève à naviguer entre différentes notions fondamentales.
Partie A : Dimensions, Pythagore et Construction du Patron
La première partie se concentre sur la détermination des dimensions réelles du cône et la construction de son patron. Pour calculer la longueur de la génératrice MS (rayon du secteur de disque du patron), nous appliquons le Théorème de Pythagore dans le triangle OSM, rectangle en O (où O est le centre de la base). Avec OS = 30 cm (hauteur) et OM = 9 cm (rayon), on obtient $MS^2 = 30^2 + 9^2$, soit $MS = \sqrt{981} \approx 31,3$ cm. Cette valeur est essentielle pour la suite.
Le périmètre de la base du chapeau est le tour de tête : $P = 2 imes \pi imes 9 \approx 56,5$ cm. Cette mesure étant très proche du tour de tête de Léo (56 cm), le chapeau est adapté.
Proportionnalité et Angle du Patron
Le patron est un secteur angulaire dont le rayon est MS (31,3 cm). La circonférence totale du cercle correspondant est $C = 2 imes \pi imes 31,3 \approx 196,7$ cm. Pour calculer l'angle $\widehat{\mathrm{M}'\mathrm{SM}}$, nous utilisons la proportionnalité entre les longueurs d'arc et les angles au centre :
- Angle total (360°) correspond à la Circonférence totale (196,7 cm).
- Angle $x$ correspond à la longueur de l'arc (56,5 cm).
Par produit en croix : $x = rac{360 imes 56,5}{196,7} \approx 103,4^\circ$. Arrondi au degré, l'angle est de $103^\circ$. La maîtrise du tableau de proportionnalité dans ce contexte est une compétence clé du programme de 3ème.
Partie B : Volume et Effet de la Réduction
La deuxième partie teste la capacité à appliquer la formule du volume du cône : $V=\dfrac{1}{3} imes \pi imes R^{2} imes h$. Avec $R=9$ cm et $h=30$ cm, on obtient $V = rac{1}{3} imes \pi imes 9^2 imes 30 = 810\pi \approx 2545 ext{ cm}^3$ (arrondi au $ ext{cm}^3$).
L'Impact de la Réduction
Lorsque les bonbons atteignent le milieu de la hauteur ($h' = 15$ cm), le petit cône formé est une réduction du grand cône avec un coefficient $k = 15/30 = 1/2$. Le volume de la réduction est alors multiplié par $k^3$. Le volume des bonbons est $V' = k^3 imes V = (1/2)^3 imes V = 1/8 imes V$. Comme $1/8 = 0,125$, le volume des bonbons représente $12,5\%$ du volume total. L'estimation de Léo que le volume représente moins de $15\%$ est donc correcte ($12,5\% < 15\%$). Cet exemple illustre clairement pourquoi le volume est réduit beaucoup plus rapidement que les longueurs.