Analyse de l'énoncé : Les Fonctions sous tous les angles

Cet exercice, issu du Brevet 2024 en Polynésie, est un excellent récapitulatif des compétences de fin de cycle 4. Il mobilise simultanément les notions de Fonctions, de Calcul littéral (développement et factorisation), de Résolution d'équations et de Compétences numériques (Tableur et Algorithmique).

Le défi principal consiste à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ en comparant trois approches différentes : l'approche numérique par balayage (Paul et Jane) et l'approche algébrique complète (Morgane).

Partie A : Rappels fondamentaux sur les fonctions

La première partie vise à vérifier la maîtrise des bases des fonctions, essentielles pour le Brevet :

• Calculer une image : Il s'agit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression algébrique de $f(x)$. Attention au développement et aux signes, notamment lorsque $x$ est négatif.
• Déterminer un antécédent : Cela revient à résoudre une équation simple de type $g(x) = y$. Pour la fonction $g(x) = 7x + 4$, trouver l'antécédent de 3 nécessite de résoudre $7x + 4 = 3$.

Partie B : La triple approche de résolution d'équation

1. Utilisation du Tableur (Paul)

Le tableur permet de traduire une formule mathématique en référence de cellules. Pour $g(x) = 7x + 4$, puisque $x$ se trouve dans la ligne 1 (cellule B1, C1, etc.), la formule en B3 est =7*B1+4 (ou dans le cas de l'énoncé, si la ligne des x est la ligne 1 : =7*B1+4). La solution est trouvée visuellement lorsque les valeurs de $f(x)$ et $g(x)$ sont égales dans la même colonne. Paul trouve la solution $x=0$.

2. Algorithmique et Programmation (Jane)

L'utilisation de Scratch teste la capacité à coder l'expression $g(x)$ et à utiliser une condition 'SI' pour comparer les deux résultats. La ligne 4 manquante devait être : mettre image par g à 7 * réponse + 4. Comme Paul, le balayage d'un intervalle restreint lui permet de confirmer la solution $x=0$.

3. Le Calcul Littéral (Morgane) : La méthode complète

C'est l'étape la plus importante, car elle garantit de trouver toutes les solutions. La démonstration demande de développer $f(x)$ et de simplifier l'équation : $f(x) = g(x) \implies (x^2 + 4x + 4) - x = 7x + 4 \implies x^2 + 3x + 4 = 7x + 4 \implies x^2 - 4x = 0$.

La factorisation $x^2 - 4x = x(x - 4)$ conduit à l'utilisation de la propriété du produit nul. Les solutions sont $x=0$ et $x=4$.

Bilan

Seule Morgane a résolu complètement l'équation. Paul et Jane, en utilisant des méthodes numériques basées sur un intervalle prédéfini (de $-3$ à $3$ pour Paul, de $-5$ à $3$ pour Jane), n'ont trouvé que la solution $x=0$ et ont manqué la deuxième solution $x=4$, qui était en dehors de leur zone de test.