Analyse de l'énoncé : Brevet 2014 - Polynésie

Cet exercice est un excellent condensé des compétences exigées en fin de cycle 4 (3ème). Il mobilise successivement le théorème de géométrie plane lié au cercle, la trigonométrie, la réciproque du théorème de Thalès, et le calcul d'aire. Il est essentiel de bien maîtriser les propriétés des figures.

Points clés et Méthodologie

1. Démontrer le triangle rectangle (Géométrie du cercle)

La question initiale repose sur une propriété fondamentale : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est le diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Ici, puisque [AB] est un diamètre du cercle (C) et que le point T appartient au cercle, le triangle ATB est nécessairement rectangle en T. Il est crucial d'identifier cette propriété rapidement sans passer par la réciproque de Pythagore, même si les données (AT=12, BT=9, AB=15) le permettraient aussi (12²+9² = 144+81=225, et 15²=225).

2. Calculer l'angle (Trigonométrie)

Dans le triangle ATB rectangle en T, nous connaissons les longueurs des trois côtés (AB = 2R = 15 cm). Pour calculer l'angle $\widehat{\text{BAT}}$, on peut utiliser n'importe quelle relation trigonométrique (Sinus, Cosinus ou Tangente). Par exemple, en utilisant le Cosinus, on obtient $\text{Cos}(\widehat{\text{BAT}}) = \text{Côté Adjacent} / \text{Hypoténuse} = AT/AB = 12/15$. L'utilisation de la fonction $\text{arccos}$ ou $\text{cos}^{-1}$ permet ensuite d'obtenir l'angle arrondi au degré près.

3. Tester le parallélisme (Réciproque de Thalès)

Pour savoir si les droites (AB) et (KF) sont parallèles, nous utilisons la réciproque du théorème de Thalès dans la configuration « en sablier » (ou croisée) formée par les segments sécants [AF] et [BK] coupés en T. Nous vérifions si les rapports $TA/TF$ et $TB/TK$ sont égaux. Si $TA/TF = 12/4 = 3$ et $TB/TK = 9/3 = 3$, alors l'égalité est vérifiée, et les droites sont parallèles.

4. Calcul de l'aire

Puisque nous avons prouvé que $(AB) \parallel (KF)$ et que $\triangle ATB$ est rectangle en T, alors l'angle $\widehat{\text{FTK}}$ (opposé par le sommet à $\widehat{\text{ATB}}$) est également droit. Le triangle TKF est donc rectangle en T. Son aire est donnée par la formule $(TK \times TF) / 2$, soit $(3 \times 4) / 2 = 6 \text{ cm}^2$. Cette dernière question est simple mais dépend de la résolution correcte des questions précédentes.