Analyse de l'énoncé : Les dragées du mariage

Cet exercice, issu du Brevet 2014 de Pondichéry, est un grand classique de l'arithmétique en classe de 3ème. Il évalue principalement la maîtrise de la division euclidienne et la détermination du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres entiers. Ces notions sont fondamentales pour l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB).

Points clés de la démarche arithmétique

• Question 1 : La Division Euclidienne. Pour savoir combien de dragées restent, il faut d'abord additionner les deux quantités (3003 + 3731 = 6734), puis effectuer la division euclidienne par le nombre de corbeilles (20). Le reste de cette division donne le nombre de dragées non utilisées. La formule est $A = B imes Q + R$. Ici, $6734 = 20 imes 336 + 14$. Le reste est 14.
• Question 2a : Critère de Divisibilité. Pour qu'une répartition soit possible sans reste, le nombre de ballotins (ici 90) doit être un diviseur commun des deux nombres (3003 et 3731). On vérifie si 90 divise 3003 : $3003 \div 90 = 33$ avec un reste de 33. Puisque le reste n'est pas nul, faire 90 ballotins n'est pas possible sans gaspillage.
• Question 2b : Recherche du PGCD. Chercher le « maximum de ballotins » identiques sans reste revient à trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des quantités 3003 et 3731. La méthode la plus efficace est l'algorithme d'Euclide.

Application de l'Algorithme d'Euclide

Nous appliquons l'algorithme pour trouver le PGCD(3731; 3003) :

1. $3731 = 3003 imes 1 + 728$
2. $3003 = 728 imes 4 + 91$
3. $728 = 91 imes 8 + 0$

Le dernier reste non nul est 91. Le nombre maximum de ballotins est donc 91.

Pour trouver la composition, nous divisons chaque quantité par 91 : $3003 \div 91 = 33$ et $3731 \div 91 = 41$. Chaque ballotin contiendra 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.