Analyse de l'énoncé : Modélisation et Comparaison de Tarifs

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la modélisation de situations concrètes à l'aide de fonctions affines et de suites arithmétiques. L'objectif est de comparer deux modèles d'évolution (linéaire et affine) pour déterminer un seuil de rentabilité.

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation : Savoir traduire un énoncé en expression algébrique. Le Tarif 1 correspond à une fonction linéaire de la forme $f(x) = ax$, tandis que le Tarif 2 est une fonction affine de type $g(x) = ax + b$.
• Suites Arithmétiques : En Première, on peut voir ces tarifs comme des suites où $u_n$ représente le coût pour $n$ jours. Pour le Tarif 1, la raison est $r = 40,5$. Pour le Tarif 2, le premier terme (abonnement) est $v_0 = 31$ et la raison est $r' = 32$.
• Inéquations : La résolution de $g(x) < f(x)$ est cruciale pour déterminer à partir de quand un forfait devient avantageux.
• Lecture Graphique : Interpréter l'ordonnée à l'origine (frais fixes) et la pente (coût journalier).

Correction Détaillée et Guide de Résolution

1. Analyse par le calcul :

• a. Pour deux jours : Tarif 1 = $2 \times 40,50 = 81$ euros. Tarif 2 = $31 + 2 \times 32 = 95$ euros. Le Tarif 1 est donc le plus intéressant pour Elliot.
• b. Seuil de rentabilité : On cherche $x$ tel que $31 + 32x < 40,5x$. En isolant $x$, on obtient $31 < 8,5x$, soit $x > 31 / 8,5 \approx 3,64$. Le Tarif 2 devient donc plus avantageux à partir du 4ème jour de ski.

2. Exploitation graphique :

• a. Proportionnalité : C'est le Tarif 1 car sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère (prix nul pour 0 jour).
• b. Différence à 6 jours : Pour $x=6$, le Tarif 1 est à $243€$ et le Tarif 2 à $223€$. La différence est d'environ $20$ euros.
• c. Budget de 275 euros : En traçant une ligne horizontale à $y = 275$, on s'aperçoit que la droite du Tarif 2 permet d'atteindre une valeur de $x$ plus élevée. Graphiquement, pour le Tarif 2, on peut skier jusqu'à 7 jours (car $31 + 32 \times 7 = 255$ et $31 + 32 \times 8 = 287$). Avec le Tarif 1, $275 / 40,5 \approx 6,79$, soit seulement 6 jours. Le maximum est donc 7 jours avec le Tarif 2.