Analyse de l'énoncé et objectifs
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Sud 2013, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane. Bien qu'il soit d'un niveau initial de troisième, sa maîtrise est cruciale pour les élèves de Première Spécialité afin de consolider les notions de distances, d'orthogonalité et de calcul de surfaces avant d'aborder des concepts plus complexes comme le produit scalaire ou la géométrie repérée dans l'espace.
Points de vigilance et notions clés
- Gestion des périmètres : Savoir extraire une longueur inconnue à partir du périmètre total d'un polygone.
- Réciproque du théorème de Pythagore : Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on compare le carré de l'hypoténuse potentielle à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Calcul d'aires composées : L'aire d'un quadrilatère quelconque se calcule souvent par la somme des aires de triangles rectangles le composant.
Correction détaillée de l'exercice
1. Justification des longueurs et périmètre :
- Pour le triangle ABC : AB = Périmètre - (BC + AC) = 154 - (56 + 65) = 154 - 121 = 33 m.
- Pour le triangle ADC : DC = Périmètre - (AC + AD) = 144 - (65 + 16) = 144 - 81 = 63 m.
- Périmètre de ABCD : Attention, la diagonale AC est interne au champ. On ne compte que les bords extérieurs : P = AB + BC + CD + DA = 33 + 56 + 63 + 16 = 168 m.
2. Démonstration de l'angle droit en D :
Dans le triangle ADC, le plus grand côté est [AC].
Calculons AC² : 65² = 4225.
Calculons AD² + DC² : 16² + 63² = 256 + 3969 = 4225.
Comme AC² = AD² + DC², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D.
3. Calcul de l'aire totale :
L'aire du champ ABCD est la somme des aires des deux triangles rectangles :
Aire(ABC) = (AB × BC) / 2 = (33 × 56) / 2 = 924 m².
Aire(ADC) = (AD × DC) / 2 = (16 × 63) / 2 = 504 m².
Aire Totale = 924 + 504 = 1428 m².
4. Coût de la clôture :
Le coût total est le produit du périmètre par le prix au mètre :
Coût = 168 × 0,85 = 142,80 €.