Analyse de l'énoncé : Géométrie dans l'espace et Homothétie

Cet exercice, extrait du sujet Pondichéry 2013, mobilise des concepts fondamentaux de géométrie qui, bien qu'introduits au collège, sont essentiels pour la spécialité mathématiques en Première. Il traite de la manipulation des formules de volume et, surtout, de la compréhension profonde des rapports de réduction appliqués aux longueurs, aux aires et aux volumes.

Points de vigilance et notions de cours

• La formule du volume : Pour une pyramide, le volume est donné par $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la Base} \times h$. Il faut savoir isoler l'inconnue souhaitée (ici l'aire).
• Coefficients de réduction : Si une figure est une réduction de rapport $k$ d'une autre figure, alors les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
• Valeurs exactes : L'utilisation de la racine carrée est indispensable pour exprimer des longueurs précises, comme dans le cas de la diagonale d'un carré ou du périmètre d'un triangle rectangle.

Correction détaillée

1. Étude de la pyramide SABCD :

On nous donne $V = 108 \text{ cm}^3$ et $h = 9 \text{ cm}$. En utilisant la formule $V = \frac{\text{Base} \times h}{3}$, on a :
$108 = \frac{\text{Aire(ABCD)} \times 9}{3} \implies 108 = 3 \times \text{Aire(ABCD)}$.
En divisant par 3, on obtient bien $\text{Aire(ABCD)} = 36 \text{ cm}^2$.

Le côté $AB$ du carré se calcule par la racine carrée de l'aire : $AB = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$.

Pour le périmètre du triangle ABC, notons que ABC est un triangle rectangle en B (car ABCD est un carré). D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 72$.
$AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ cm}$.
Le périmètre est donc $AB + BC + AC = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2} \text{ cm}$.

2. Étude de la réduction SMNOP :

L'aire du carré MNOP est de $4 \text{ cm}^2$. Le rapport des aires est $k^2 = \frac{\text{Aire(MNOP)}}{\text{Aire(ABCD)}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
On en déduit que le rapport de réduction est $k = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Volume et conclusion sur l'affirmation d'Elise

a) Le volume de la pyramide réduite SMNOP est :
$V_{SMNOP} = k^3 \times V_{SABCD} = (\frac{1}{3})^3 \times 108 = \frac{1}{27} \times 108 = 4 \text{ cm}^3$.

b) Elise affirme que le périmètre de MNO est le tiers de celui de ABC. Comme le périmètre est une mesure de longueur et que le rapport de réduction est $k = 1/3$, Elise a parfaitement raison. Dans une réduction de rapport $k$, toutes les longueurs (côtés, périmètres, rayons) sont multipliées par ce même rapport $k$.