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Exercice Première Spécialité - 2025 - Ex 2 : Géométrie et Trigonométrie

1 juin 2025 Troisième (Brevet)

Révise la Géométrie avec brio ! 🏊‍♂️🏃‍♂️

Prêt à valider ton parcours d'aquathlon ? Cet exercice complet est l'outil parfait pour consolider tes bases en géométrie plane et en statistiques. À travers un problème concret, tu vas :

  • Maîtriser Pythagore et Thalès en situation réelle.
  • Utiliser la trigonométrie pour calculer des angles de précision. 📐
  • Comparer des performances sportives grâce aux vitesses et médianes.

Idéal pour les élèves de Première souhaitant renforcer leurs automatismes de calcul et de raisonnement logique. Ne laisse aucun point au hasard et entraîne-toi dès maintenant ! 💪✨

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:16.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien que posé dans un contexte de Brevet, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane essentielles pour le programme de Première Spécialité, notamment dans l'étude des configurations et la manipulation des vecteurs ou du produit scalaire ultérieurement. L'objectif est de vérifier la validité d'un parcours d'aquathlon en utilisant des outils de géométrie classique (Théorèmes de Pythagore, Thalès) et de trigonométrie, complété par une analyse statistique de données de performance.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :

  • L'alignement et la soustraction de segments : Identifier que AD = AE - DE repose sur l'alignement strict des points A, D et E.
  • Le théorème de Pythagore : Savoir l'appliquer correctement dans un triangle rectangle pour trouver l'hypoténuse.
  • La réciproque du théorème de Thalès : Manipuler les rapports de longueurs (attention à bien calculer AB = AC + CB).
  • La trigonométrie : Choisir la bonne formule (Tangente ici) et utiliser l'arc-tangente pour retrouver l'angle.
  • Conversions de vitesse : Comparer des vitesses exprimées dans des unités différentes (m/s vs km/h).

Correction Détaillée

Partie A : La course à pied

1. Calcul de AD : Puisque les points A, D et E sont alignés dans cet ordre, nous avons AD = AE - DE. Avec AE = 250 m et DE = 50 m, on obtient AD = 250 - 50 = 200 m.

2. Calcul de CD : Le triangle ADC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore : CD² = AC² + AD². CD² = 480² + 200² = 230 400 + 40 000 = 270 400. Donc CD = √270 400 = 520 m.

3. a. Parallélisme : Vérifions les rapports de Thalès dans les triangles ACD et ABE. On a AC/AB = 480 / (480 + 120) = 480 / 600 = 0,8. D'autre part, AD/AE = 200 / 250 = 0,8. Les rapports sont égaux et les points A, C, B d'une part et A, D, E d'autre part sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (CD) // (BE).

3. b. Angle ACD : Dans le triangle ADC rectangle en A, tan(ACD) = AD / AC = 200 / 480. À l'aide de la calculatrice, l'angle ACD = arctan(200/480) ≈ 22,6°. Cette mesure est bien supérieure à 20°.

3. c. Validation : Les deux conditions (parallélisme et angle) sont remplies, le parcours est donc validé.

Partie B : La natation

4. Médiane : Il y a 9 valeurs. La médiane est la 5ème valeur de la série ordonnée. La 5ème valeur est 6 min. La médiane est donc 6 min.

5. Vitesse : L'élève le plus rapide met 5 min 30 s pour 200 m, soit 330 secondes. Sa vitesse est v = 200 / 330 ≈ 0,61 m/s. Le poisson nage à 5 km/h = 5000 m / 3600 s ≈ 1,39 m/s. Le poisson nage donc bien plus vite que l'élève.