Analyse de l'énoncé et enjeux

Cet exercice, extrait de la session 2025, propose une étude de cas concrète mêlant la géométrie plane et la gestion de données numériques. Pour un élève de Première Spécialité, ce type de problème permet de vérifier la solidité des fondamentaux géométriques, indispensables avant d'aborder des notions plus complexes comme le produit scalaire ou la géométrie repérée dans l'espace.

Points de vigilance et notions clés

• Théorème de Pythagore : Utilisé ici pour le calcul de longueurs dans un triangle rectangle. Attention à bien rédiger l'égalité et à vérifier que le triangle est bien rectangle.
• Théorème de Thalès : La configuration « en emboîtement » nécessite la preuve du parallélisme. Rappelez-vous que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
• Proportionnalité : La manipulation des ratios (16:12:8) et les calculs de masse par rapport à une surface (produit en croix ou coefficient de proportionnalité) demandent une grande rigueur dans l'organisation des données.

Correction détaillée de l'exercice

Partie A : Étude du terrain

1. Le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Soit $AC^2 = 600^2 + 450^2 = 360\,000 + 202\,500 = 562\,500$. On trouve $AC = \sqrt{562\,500} = 750$ m.

2. a) Les droites (ED) et (AB) sont perpendiculaires à la droite (BC). Or, deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. Donc $(ED) // (AB)$.

2. b) En utilisant le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CBA, on a : $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{AB}$. En remplaçant par les valeurs : $\frac{270}{450} = \frac{DE}{600}$. On en déduit $DE = \frac{270 \times 600}{450} = 360$ m.

3. L'aire du triangle CDE est donnée par : $A = \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{CD \times DE}{2} = \frac{270 \times 360}{2} = 48\,600$ m².

Partie B : Étude du mélange

1. Vérifions le ratio pour le blé : $\frac{16}{80} = 0,2$. Pour le seigle : $\frac{12}{60} = 0,2$. Pour le pois : $\frac{8}{50} = 0,16$. Les rapports ne sont pas égaux, le ratio 16:12:8 ne respecte donc pas l'indication 2.

2. Pour $10\,000$ m², il faut 80 kg de blé. Pour $48\,600$ m², il faut : $48\,600 \times \frac{80}{10\,000} = 48\,600 \times 0,008 = 388,8$ kg. Le calcul de l'agriculteur est correct.

3. Coût total = $(388,8 \times 1,40) + (291,6 \times 1,30) + (243 \times 2,10) = 544,32 + 379,08 + 510,30 = 1\,433,70$ €. Puisque $1\,433,70 < 1\,500$, le budget est suffisant.