Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Étrangers 2025, aborde des notions fondamentales de dénombrement et de probabilités dans un contexte concret : la sécurité d'un digicode. Bien que le niveau soit accessible, il mobilise des compétences clés de la spécialité mathématiques : la compréhension de l'espace échantillonnal, le calcul de probabilités simples et l'analyse d'un algorithme de contrôle (ici présenté sous forme de blocs Scratch).
Points de vigilance et notions de cours
- Dénombrement : Pour déterminer le nombre total d'issues, on utilise le principe multiplicatif. Avec 3 lettres possibles et 10 chiffres (de 0 à 9), il existe $3 \times 10 = 30$ combinaisons.
- Nombres premiers : C'est souvent un point de chute pour les élèves. Rappelons que dans l'ensemble $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, les nombres premiers sont 2, 3, 5 et 7. Attention, 0 et 1 ne sont pas premiers.
- Algorithmie : La structure conditionnelle (si... alors... sinon) est ici couplée à un opérateur logique 'ET'. Pour que le code soit validé, les deux conditions (lettre et chiffre) doivent être remplies simultanément.
Guide de résolution détaillé
1. Exemples de codes : On peut proposer A0 et B5.
2. Probabilité de la lettre C : Puisqu'il y a 3 lettres possibles (A, B, C) et qu'elles ont la même probabilité d'être choisies, $P(C) = \frac{1}{3}$. Si l'on raisonne sur l'ensemble des codes, il y a 10 codes commençant par C sur 30 au total, soit $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
3. Probabilité du chiffre 7 : Il y a 3 codes contenant le chiffre 7 (A7, B7, C7). La probabilité est donc de $\frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
4. Nombres premiers : Les chiffres premiers sont $\{2, 3, 5, 7\}$. Il y a 4 chiffres premiers possibles pour chacune des 3 lettres, soit $3 \times 4 = 12$ issues favorables. La probabilité est $P = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$.
5. Sécurité et temps : Léna doit tester 30 codes. À raison de 5 secondes par code, cela prend $30 \times 5 = 150$ secondes. Comme 3 minutes correspondent à 180 secondes, elle réussira avant la limite. Analyse critique : Le système n'est absolument pas sécurisé car le nombre de combinaisons est trop faible (30). Pour l'améliorer, il faudrait augmenter la longueur du code ou le nombre de caractères disponibles.
6. Algorithmie Scratch : Le script vérifie si 'lettre saisie = B' ET 'chiffre saisi = 7'.
a) Pour B5, le programme affiche 'Code faux'.
b) Le code correct est B7.