Analyse de l'énoncé et Enjeux
Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2023, propose une approche transversale mêlant géométrie plane, cinématique (vitesse moyenne) et arithmétique. Bien que classé au niveau Brevet, sa structure permet de réviser des notions fondamentales de la spécialité mathématiques en classe de Première, notamment la logique des multiples et la modélisation de phénomènes périodiques via les suites arithmétiques.
Points de vigilance et Notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :
- Géométrie : Il faut être capable de décomposer une figure complexe en éléments simples (segments, quarts de cercle, demi-cercles) et d'appliquer la formule du périmètre d'un cercle $P = 2\pi R$.
- Conversions : La maîtrise du passage des m/s aux km/h est cruciale ($1 \text{ m/s} = 3,6 \text{ km/h}$).
- Arithmétique : La décomposition en facteurs premiers est la méthode la plus efficace pour trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM), essentiel pour résoudre les problèmes de rencontre sur un cycle.
Guide de résolution détaillé
1. Longueur de la piste : La piste se décompose en segments droits et en arcs de cercles. En observant les codages (petits traits, carrés, points), on identifie les rayons des arcs et les longueurs des segments. La somme des longueurs donne environ $1045$ mètres après arrondi.
2. Vitesse moyenne du professionnel : On utilise la formule $v = \frac{d}{t}$. Avec $d = 1045$ m et $t = 60$ s, on obtient $v \approx 17,42$ m/s.
3. Sécurité de l'amateur : Calculons sa vitesse : $v = \frac{1045}{72} \approx 14,51$ m/s. Pour convertir en km/h, on multiplie par $3,6$ : $14,51 \times 3,6 \approx 52,2$ km/h. Comme $52,2 < 60$, l'amateur respecte les règles.
4. Rencontre sur la ligne de départ :
- Décomposition de $60$ : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
- Décomposition de $72$ : $72 = 2^3 \times 3^2$.
- Le PPCM est $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ secondes.
Ils se retrouveront donc après $360$ secondes (soit 6 minutes). Le professionnel aura fait $360/60 = 6$ tours et l'amateur $360/72 = 5$ tours.