Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité, notamment pour les thématiques d'Algorithmie et de Suites. Il demande une compréhension fine de la géométrie des polygones réguliers et de la logique de programmation par blocs (Scratch), qui se traduit directement en Python au lycée. L'enjeu est de faire le lien entre la mesure d'un angle intérieur d'un polygone et l'angle de rotation nécessaire pour le tracer dans un script.
Points de vigilance et notions de cours
- Angle extérieur : Dans un polygone régulier, l'angle de rotation (angle extérieur) est le supplément de l'angle intérieur. Pour un hexagone où l'angle intérieur est de 120°, l'angle de rotation est de 180° - 120° = 60°.
- Suites Géométriques : Le script utilise une variable 'longueur' qui est multipliée par 1,5 à chaque itération. Cela correspond à une suite géométrique de raison $q = 1,5$.
- Structure de boucle : Il faut bien distinguer le nombre de répétitions pour tracer la figure élémentaire (l'hexagone) et le nombre de répétitions du motif global.
Correction détaillée
1. Analyse de l'angle : Les points A, B et X sont alignés, ce qui définit un angle plat $\widehat{ABX} = 180^\circ$. Puisque l'hexagone est régulier, son angle intérieur $\widehat{ABC}$ mesure 120°. L'angle $\widehat{XBC}$ est donc son supplémentaire : $180 - 120 = 60^\circ$. C'est précisément l'angle dont le lutin doit tourner pour changer de direction lors du tracé.
2. Complétion du script : Pour le bloc 'Hexagone', il faut 'répéter 6 fois' (un hexagone a 6 côtés) et 'tourner de 60 degrés'.
3. Étude de la boucle principale :
- Le script répète la boucle 5 fois, il trace donc 5 hexagones.
- La longueur initiale est de 32 unités.
- Pour le deuxième hexagone, la longueur devient $32 \times 1,5 = 48$ unités.
4. Choix du dessin : Le script ne contient aucune instruction de mouvement (comme 'avancer') entre les appels au bloc 'Hexagone'. Par conséquent, tous les hexagones commencent au même point de départ et avec la même orientation. Seule la taille change. C'est le Dessin 2 qui correspond à cette configuration de figures homothétiques partageant un sommet commun.