Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales indispensables en classe de Première Spécialité. Il traite de la géométrie plane classique : démonstration d'orthogonalité, application du théorème de Thalès (ou triangles semblables), trigonométrie et calculs d'aires. En Première, ces notions sont le socle nécessaire pour aborder le produit scalaire et la géométrie repérée.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs points de cours doivent être parfaitement maîtrisés :

• La réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle. Attention à la rédaction : calculez séparément le carré du côté le plus long et la somme des carrés des deux autres côtés.
• Les triangles semblables : Un concept clé qui remplace souvent Thalès en Première. Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles de même mesure.
• Trigonométrie : Savoir choisir entre Cosinus, Sinus et Tangente selon les données de l'énoncé.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Nature du triangle LNA :
On a $AN^2 = 13^2 = 169$. D'autre part, $AL^2 + LN^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
Puisque $AN^2 = AL^2 + LN^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L.

2. Calcul de OH :
Les droites (OH) et (AL) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (LN), elles sont donc parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle LNA avec $O \in [LN]$ et $H \in [NA]$, on a : $\frac{NO}{NL} = \frac{OH}{AL}$.
Soit $\frac{3}{5} = \frac{OH}{12}$, d'où $OH = \frac{3 \times 12}{5} = 7,2$ cm.

3. Angle $\widehat{LNA}$ :
Dans le triangle LNA rectangle en L : $\cos(\widehat{LNA}) = \frac{LN}{AN} = \frac{5}{13}$.
À l'aide de la calculatrice, $\widehat{LNA} \approx 67^{\circ}$.

4. Triangles semblables :
Les triangles LNA et ONH partagent l'angle $\widehat{N}$ et possèdent tous deux un angle droit ($\widehat{L}$ et $\widehat{O}$). Ayant deux angles égaux, ils sont semblables.

5. Aires et proportions :
a. Aire(LNA) = $\frac{12 \times 5}{2} = 30$ cm². Aire(ONH) = $\frac{3 \times 7,2}{2} = 10,8$ cm².
L'aire du quadrilatère LOHA est la différence : $30 - 10,8 = 19,2$ cm².
b. Proportion : $\frac{19,2}{30} = 0,64$, soit 64%.