Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien que posé initialement dans un contexte de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de consolider les fondamentaux sur les probabilités simples, le passage des pourcentages aux fractions, et la manipulation d'équations liées aux fréquences. L'exercice repose sur la comparaison de trois boîtes (A, B et C) contenant des jetons noirs (gagnants) et blancs, demandant une agilité mentale pour passer d'un mode de représentation à un autre (pourcentage, fraction, effectifs).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :
- Calcul de probabilité : Savoir que la probabilité d'un événement est égale au quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues : $P(E) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
- Confusion fréquente : Dans la boîte C, il ne faut pas diviser par 350, mais par le total $350 + 50 = 400$.
- Proportionnalité : Savoir retrouver un effectif total à partir d'un pourcentage et d'un effectif partiel.
- Modélisation : Transformer un problème de mélange en une équation du premier degré.
Correction Détaillée
1. Probabilité dans la boîte C
Le nombre total de jetons dans la boîte C est la somme des jetons blancs et noirs : $350 + 50 = 400$. La probabilité de tirer un jeton noir est donc : $P(C) = \frac{50}{400} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$. La valeur décimale est $0,125$.
2. Choix de la boîte optimale
Pour comparer les chances, convertissons toutes les probabilités en nombres décimaux :
- Boîte A : $1$ jeton sur $10$, soit $P(A) = \frac{1}{10} = 0,1$.
- Boîte B : $15 \%$, soit $P(B) = 0,15$.
- Boîte C : $P(C) = 0,125$.
On observe que $0,15 > 0,125 > 0,1$. Maxime a donc tout intérêt à choisir la boîte B car la probabilité d'y gagner est la plus élevée.
3. Effectif total de la boîte B
On sait que $18$ jetons noirs représentent $15 \%$ du total $N$. On pose l'équation : $0,15 \times N = 18$. D'où $N = \frac{18}{0,15} = 120$. La boîte B contient au total $120$ jetons.
4. Équilibre de la boîte C
On ajoute $10$ jetons noirs, soit $50 + 10 = 60$ jetons noirs. Soit $x$ le nombre de jetons blancs à ajouter. Le nouveau total est $400 + 10 + x = 410 + x$. On veut que $\frac{60}{410 + x} = \frac{1}{8}$. Par produit en croix : $60 \times 8 = 410 + x$, soit $480 = 410 + x$. On en déduit $x = 480 - 410 = 70$. Il faut ajouter 70 jetons blancs.