Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent test de réflexes pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane qui sont les piliers de la trigonométrie et de la géométrie repérée. L'énoncé nous place dans une situation concrète : le col de Hardknott. Nous devons jongler entre altitudes, distances horizontales et vitesses de déplacement.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser :
- Le Théorème de Thalès : Indispensable dès que des droites parallèles sont identifiées dans des triangles emboîtés.
- Propriétés des perpendiculaires : Savoir que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
- Calcul de vitesse : La relation $d = v \times t$, en faisant attention aux conversions d'unités (mètres en kilomètres, heures en minutes).
- Théorème de Pythagore : Nécessaire pour déterminer une distance horizontale manquante.
Correction détaillée
1. Calcul du dénivelé EC :
Le dénivelé est la différence d'altitude entre le sommet E et la base du triangle au niveau de C. On a $Altitude_E = 393$ m et $Altitude_A = 251$ m. Comme A, B et C sont sur la même ligne horizontale, $EC = 393 - 251 = 142$ m.
2. Géométrie du triangle :
a) On sait que $(DB) \perp (AC)$ et $(EC) \perp (AC)$. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc $(DB) // (EC)$.
b) Dans les triangles ABD et ACE, les points A, B, C sont alignés et A, D, E sont alignés avec $(DB) // (EC)$. D'après le théorème de Thalès : $\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{EC}$.
En utilisant $\frac{AD}{AE} = \frac{BD}{EC}$, on a : $\frac{51,25}{AE} = \frac{11,25}{142}$, d'où $AE = \frac{51,25 \times 142}{11,25} \approx 646,88$ m.
La distance restant à parcourir est $DE = AE - AD = 646,88 - 51,25 \approx 595,63$ m, soit environ 596 m.
3. Temps de parcours :
La vitesse est $v = 8$ km/h. La distance est $d = 596$ m $= 0,596$ km.
$t = \frac{d}{v} = \frac{0,596}{8} = 0,0745$ heures.
En minutes : $0,0745 \times 60 = 4,47$ min. En arrondissant à la minute, le trajet dure 4 minutes. Départ à 9h55, arrivée prévue à 9h59.
4. Calcul de la pente :
Dans le triangle ABD rectangle en B, d'après Pythagore : $AB^2 = AD^2 - BD^2 = 51,25^2 - 11,25^2 = 2626,5625 - 126,5625 = 2500$. Donc $AB = \sqrt{2500} = 50$ m.
Pente $= \frac{dénivelé}{distance\,horizontale} = \frac{BD}{AB} = \frac{11,25}{50} = 0,225 = 22,5\%$.