Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour la Première Spécialité : la trigonométrie dans le triangle rectangle, le calcul d'aires et l'étude des triangles semblables (homothéties et similitudes). L'objectif est d'optimiser une plaque de bois pour créer un décor de théâtre.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Utilisation des rapports (SOH-CAH-TOA), notamment la tangente : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
• Aires : Distinction entre l'aire de la plaque rectangulaire ($L \times l$) et la portion utilisée.
• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles deux à deux ou si leurs côtés sont proportionnels.
• Coefficient d'agrandissement : Le rapport $k$ entre deux longueurs homologues.

Correction Détaillée

1. Calcul de AM : Dans le triangle ADM rectangle en A, on a : $\tan(\widehat{ADM}) = \frac{AM}{AD}$.
$\tan(60^\circ) = \frac{AM}{2} \Rightarrow AM = 2 \times \tan(60^\circ) \approx 2 \times 1,732 \approx 3,46$ m.

2. Proportion de la plaque inutilisée :
L'aire totale de la plaque ABCD est $4 \times 2 = 8$ m².
La partie utilisée est le rectangle ADNM de largeur $AM \approx 3,46$ m et de hauteur $2$ m (car AD = 2 m).
L'aire inutilisée est celle du rectangle de droite : $(4 - 3,46) \times 2 = 0,54 \times 2 = 1,08$ m².
Proportion : $\frac{1,08}{8} = 0,135$, soit environ $13,5\%$.

3. Triangles semblables :
Dans ADM : $\widehat{A} = 90^\circ, \widehat{D} = 60^\circ, \widehat{M} = 30^\circ$.
Par construction (angle droit en P), le triangle PDN a un angle de $90^\circ$ et partage l'angle de $60^\circ$ avec ADM. Ses angles sont donc $90, 60, 30$.
De même pour PNM. Les trois triangles ayant les mêmes angles, ils sont semblables.

4. Coefficient d'agrandissement :
Dans PDN, l'hypoténuse est DN. Dans ADM, l'hypoténuse est DM. Le rapport est $k = \frac{DM}{DN}$.
Dans ADM : $DM = \frac{AD}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{0,5} = 4$.
Le coefficient est supérieur à 1,5 car $DM$ est l'hypoténuse du plus grand triangle.