Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une application concrète des mathématiques dans un contexte de contrôle qualité industriel. Il se divise en deux parties distinctes : une partie de géométrie spatiale et de calcul de grandeurs composées (débit), et une partie de statistiques descriptives. Bien que cet exercice soit issu d'un sujet de fin de collège, les concepts de moyenne pondérée, de médiane et d'analyse de dispersion sont des prérequis fondamentaux pour le programme de Première Spécialité, notamment pour introduire les variables aléatoires et la loi binomiale.

Points de vigilance et notions de cours requises

• Calcul de volume : Il est crucial de ne pas confondre le diamètre (1,5 cm) et le rayon ($r = 0,75$ cm) du cylindre. La formule $V = \pi imes r^2 imes h$ doit être appliquée avec précision.
• Unités et conversions de temps : Le résultat d'un calcul de temps arrive souvent sous forme décimale (ex: 2,5 min). Il faut impérativement savoir convertir la partie décimale en secondes (0,5 min = 30 s).
• Indicateurs statistiques : Pour la médiane, il faut identifier la position centrale dans l'effectif total ($N=40$). Pour la moyenne, on utilise la moyenne pondérée par les effectifs. L'étendue, quant à elle, mesure la dispersion maximale des données.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Analyse du sablier et de l'écoulement :

• a. Volume du sable : Le cylindre $C_2$ a un rayon $r = 0,75$ cm et une hauteur $h = 4,2$ cm. Son volume total est $V_{cyl} = \pi imes 0,75^2 imes 4,2 \approx 7,422$ cm³. Le sable occupant les deux tiers : $V_{sable} = rac{2}{3} imes \pi imes 0,5625 imes 4,2 = 1,575\pi \approx 4,948$. On retrouve bien environ $4,95$ cm³.
• b. Temps d'écoulement : Le temps $t$ est donné par le rapport Volume / Débit. $t = 4,95 / 1,98 = 2,5$ minutes. En convertissant 0,5 minute en secondes ($0,5 imes 60 = 30$), on obtient 2 min 30 s.

2. Analyse statistique du contrôle qualité :

• a. Effectif total : En additionnant tous les effectifs du tableau : $1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 40$. 40 tests ont été réalisés.
• b. Validation des critères :
  • Étendue : $V_{max} - V_{min} = 2 ext{ min } 38 ext{ s} - 2 ext{ min } 22 ext{ s} = 16 ext{ s}$. $16 < 20$, donc le critère est respecté.
  • Médiane : L'effectif total est 40. La médiane se situe entre la 20ème et la 21ème valeur. En cumulant les effectifs : la 20ème valeur est 2 min 29 s et la 21ème est 2 min 30 s. La médiane est 2 min 29,5 s, ce qui est bien compris entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.
  • Moyenne : On convertit tout en secondes pour simplifier. La somme pondérée donne 6004 secondes. Moyenne = $6004 / 40 = 150,1$ s, soit 2 min 30,1 s. Ce résultat est bien compris entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Conclusion : Le sablier remplit les trois conditions, il ne sera donc pas éliminé.