Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de Brevet, mobilise des compétences fondamentales pour un élève de Première Spécialité, notamment dans le cadre de la géométrie repérée et de l'appréhension des volumes. La première partie demande une lecture précise de coordonnées sur une sphère (latitude et longitude), ce qui constitue une introduction concrète au repérage dans l'espace. La seconde partie nécessite une analyse structurelle d'un objet composé : un cylindre et une boule. L'enjeu est de savoir décomposer une figure complexe en solides élémentaires et d'appliquer avec rigueur les formules de volume.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- Repérage sphérique : Comprendre la différence entre la latitude (Nord/Sud) et la longitude (Est/Ouest) et savoir lire une carte avec une précision acceptable.
- Analyse de schéma : Identifier que la hauteur totale (46 cm) est répartie équitablement entre la boule et le cylindre (23 cm chacun selon le schéma), et que le diamètre de la boule correspond à sa propre hauteur.
- Précision des calculs : Ne pas confondre rayon et diamètre. Pour la boule, le diamètre est de 23 cm (soit un rayon R = 11,5 cm). Pour le cylindre, le diamètre est de 6 cm (soit un rayon r = 3 cm).
- Utilisation de la calculatrice : Savoir manipuler la touche π et arrondir correctement à l'unité près.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Repérage de Pyeongchang : En observant la carte, on situe Pyeongchang en Corée du Sud. Les coordonnées approximatives sont de 37° de latitude Nord et 128° de longitude Est.
2. Volume de la boule : D'après le schéma, la hauteur totale est de 46 cm. On voit que la hauteur de la boule est de 23 cm. Comme il s'agit d'une boule, son diamètre est donc de 23 cm, ce qui nous donne un rayon R = 11,5 cm. On applique la formule : V = (4/3) × π × 11,5³ ≈ 6370,65 cm³. En arrondissant à l'unité, on retrouve bien 6371 cm³.
3. Volume total et affirmation de Marie : Calculons d'abord le volume du cylindre. Son rayon est r = 6 / 2 = 3 cm et sa hauteur est h = 23 cm. V_cylindre = π × 3² × 23 = 207π ≈ 650,3 cm³. Le volume total du trophée est donc V_total = 6370,65 + 650,3 ≈ 7020,95 cm³. Pour vérifier l'affirmation de Marie, on calcule le rapport : (6371 / 7020,95) × 100 ≈ 90,7 %. Marie a donc raison, le volume de la boule représente bien environ 90 % du volume total.