Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de série collège, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il sollicite la capacité à modéliser une situation réelle (l'inclinaison d'une tribune de gymnase) par des outils géométriques. L'enjeu est de passer d'un schéma complexe à des configurations de triangles rectangles identifiables. Le problème repose sur l'utilisation des relations trigonométriques classiques et sur la propriété des droites parallèles (angles correspondants). En Première, cet exercice prépare à des notions plus complexes comme le produit scalaire ou l'étude des fonctions trigonométriques en exploitant la précision des calculs de longueurs.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont essentiels :

• La maîtrise des formules de trigonométrie dans le triangle rectangle : le fameux SOH CAH TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent).
• La gestion des unités : le passage des mètres aux centimètres est ici crucial pour la question finale.
• La reconnaissance des angles correspondants : savoir justifier que deux angles sont égaux grâce au parallélisme de deux droites coupées par une sécante.
• L'utilisation de la calculatrice en mode 'Degrés'.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de la hauteur BC :
Le triangle ABC est rectangle en B. On connaît l'angle $\widehat{BAC} = 30^\circ$ et le côté adjacent $AB = 11$ m. Nous cherchons le côté opposé BC. La formule de la tangente est donc la plus appropriée :
$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AB}$
$\tan(30^\circ) = \frac{BC}{11}$
$BC = 11 \times \tan(30^\circ) \approx 6,3508$.
En arrondissant au centième, on obtient bien $BC \approx 6,35$ m.

2. Mesure de l'angle $\widehat{BRT}$ :
L'énoncé stipule que les points R, A et B sont alignés sur l'horizontale. La droite (RT) est parallèle à l'inclinaison (AC) de la tribune. Les angles $\widehat{BRT}$ et $\widehat{BAC}$ sont donc des angles correspondants définis par deux droites parallèles coupées par la sécante (RB).
Par conséquent, $\widehat{BRT} = \widehat{BAC} = 30^\circ$.

3. Calcul de la longueur RA :
Considérons le triangle RBT rectangle en B. La hauteur totale $BT$ est égale à $BC + CT = 6,35 + 0,80 = 7,15$ m.
Dans le triangle RBT, on a : $\tan(\widehat{BRT}) = \frac{BT}{RB}$.
$\tan(30^\circ) = \frac{7,15}{RB}$ d'où $RB = \frac{7,15}{\tan(30^\circ)} \approx 12,384$ m.
Pour trouver RA, on soustrait AB de RB : $RA = RB - AB = 12,384 - 11 = 1,384$ m.
En convertissant en centimètres et en arrondissant à l'unité : $RA \approx 138$ cm.