Analyse Complète du Sujet Bac Maths 2023 - Métropole (Sujet 1)

Le sujet du baccalauréat de spécialité Mathématiques tombé en Métropole le 20 mars 2023 est un classique absolu qui permet de balayer l'ensemble des thèmes majeurs du programme de Terminale. Ce sujet, donné lors de la première session des épreuves de spécialité en mars, est équilibré et demande une excellente maîtrise des fondamentaux : probabilités conditionnelles, étude de fonction logarithme, suites numériques avec modélisation et géométrie dans l'espace.

En tant que professeur correcteur, voici mon analyse détaillée, exercice par exercice, pour vous aider à comprendre la philosophie de l'épreuve et les compétences attendues.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (QCM)

Comme souvent, l'épreuve débute par un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Ce format, bien que rapide, ne tolère pas l'approximation car aucune justification n'est demandée, mais le raisonnement au brouillon doit être rigoureux.

• Thèmes abordés : Arbres de probabilités, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, Loi Binomiale.
• Analyse pédagogique :

  Le contexte est industriel (contrôle de machines). La première partie repose sur la lecture d'un énoncé textuel pour construire un arbre pondéré. La difficulté classique ici est de ne pas confondre la probabilité d'une intersection $P(A \cap B)$ avec une probabilité conditionnelle $P_A(B)$. La question 3 demande de calculer une probabilité conditionnelle inverse (type formule de Bayes), un classique du genre.

  La seconde partie bascule sur une loi Binomiale. Il faut identifier les paramètres $n$ et $p$. Attention aux calculs de probabilités cumulées ($P(X > k)$) qui nécessitent souvent de passer par l'événement contraire ou l'usage habile de la calculatrice.

Exercice 2 : Analyse de Fonction Logarithme

C'est le cœur de l'épreuve d'analyse. L'exercice propose l'étude d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien, $f(x) = x^2 - 8\ln(x)$.

• Thèmes abordés : Limites, croissances comparées, dérivation, variations, signe, et paramètre réel.
• Difficultés et points clés :
  • Limites : L'élève doit maîtriser les croissances comparées en $+\infty$ pour lever la forme indéterminée $\infty - \infty$.
  • Dérivée : Le calcul mène à une expression rationnelle. L'étude du signe de $f'(x)$ nécessite de factoriser le numérateur (identité remarquable) et de ne garder que la racine positive car on travaille sur $]0; +\infty[$.
  • Famille de fonctions : La dernière question introduit un paramètre $k$. C'est une question de synthèse qui demande de comprendre que si le minimum de la fonction est positif, alors la fonction est positive partout. C'est une excellente question pour départager les très bons dossiers.

Exercice 3 : Suites Numériques et Modélisation

Cet exercice ancre les mathématiques dans le réel avec la gestion d'une FAQ (Foire Aux Questions). Il confronte deux modèles d'évolution.

• Thèmes abordés : Suites arithmético-géométriques, démonstration par récurrence, algorithmique (Python), limite de suites.
• Analyse pédagogique :

  La Partie A est très standard : calcul des premiers termes, puis une démonstration par récurrence pour expliciter la suite. La question sur le script Python demande de comprendre la boucle while : il s'agit d'un algorithme de seuil (trouver $n$ tel que $u_n > \text{seuil}$).

  La Partie B propose un modèle exponentiel. Ici, la résolution d'inéquation avec l'exponentielle est requise. L'élève doit être à l'aise avec la manipulation des inégalités et du logarithme pour isoler $n$.

  La Partie C demande un esprit critique pour comparer les deux modèles : lequel atteint un seuil le plus vite ? Lequel a la limite la plus élevée ? C'est de l'interprétation de résultats mathématiques.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace

L'exercice final se place dans un cube, le cadre le plus rassurant pour les élèves car le repère est orthonormé par définition.

• Thèmes abordés : Coordonnées, représentation paramétrique de droite, équation cartésienne de plan, orthogonalité, distances et volumes.
• Points de vigilance :

  Il faut être rigoureux dans la notation des vecteurs et des coordonnées. Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan exige de montrer qu'un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

  La question du calcul de la distance d'un point à un plan est ici guidée par les coordonnées du projeté orthogonal, mais il faut savoir faire le lien avec la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$) pour la dernière question. C'est un exercice très complet qui vérifie la vision dans l'espace.

Bilan et Conseils de l'Expert

Ce sujet de Métropole 2023 est un excellent entraînement. Il ne comporte pas de piège vicieux mais exige une rédaction impeccable. Pour réussir :

• Soignez la rédaction de la récurrence (Ex 3).
• N'oubliez pas les ensembles de définition dans l'étude de fonction (Ex 2).
• En probabilités, définissez clairement vos événements avant de calculer (Ex 1).
• En géométrie, justifiez toujours l'utilisation du repère orthonormé pour utiliser les formules de produit scalaire (Ex 4).