Analyse de l'exercice : Fonctions et Logarithme Népérien

Cet exercice, tiré de la session de remplacement de septembre 2021 en Métropole, est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il se décompose en deux parties interdépendantes, une structure fréquente au Bac, permettant d'étudier une fonction auxiliaire avant de s'attaquer à la fonction principale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale :

• Manipulation algébrique du logarithme : Savoir résoudre des équations du type $f(x)=0$ impliquant $\ln(x)$ est le point de départ. Il faut être à l'aise avec les propriétés opératoires, notamment pour passer de $\ln(x) = k$ à $x = e^k$.
• Lien entre fonction et dérivée : La Partie I introduit une fonction $f$ dont le signe sera crucial pour la Partie II. L'élève doit comprendre que si $g'(x) = f(x)$, alors le signe de $f(x)$ donne directement les variations de $g$. C'est une compétence d'analyse globale essentielle.
• Calcul de limites : L'exercice demande de déterminer les limites en $0$ et en $+\infty$. Il faut savoir lever les formes indéterminées, souvent par factorisation ou en utilisant les croissances comparées usuelles.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'exercice requiert de démontrer qu'une équation $g(x)=m$ admet exactement deux solutions. Cela nécessite une rédaction rigoureuse : continuité, stricte monotonie sur les intervalles considérés et calcul des images aux bornes.
• Changement de variable implicite : La résolution finale de $g(x)=0$ fait apparaître une équation du second degré en posant $X = \ln(x)$. Reconnaître cette structure permet de trouver rapidement les solutions exactes.

Ce sujet constitue un excellent entraînement pour réviser l'étude complète d'une fonction logarithme, depuis la lecture graphique jusqu'à la justification théorique des solutions d'une équation.