Analyse du sujet : Probabilités et Loi Binomiale

Cet exercice de l'épreuve de mathématiques du Bac 2021 (Zone Asie) est un classique complet traitant des probabilités discrètes. Il est structuré en trois parties progressives allant du dénombrement élémentaire à la modélisation par une loi binomiale, en passant par l'étude d'une variable aléatoire associée à un jeu d'argent.

Compétences et clés de réussite

• Maîtriser le dénombrement : La première étape consiste à modéliser un tirage simultané. L'utilisation des combinaisons (coefficient binomial) est ici pertinente pour déterminer le nombre total d'issues et calculer la probabilité d'obtenir une configuration spécifique (voyelle et consonne).
• Étudier une variable aléatoire (Gain) : L'exercice introduit une variable aléatoire $G$ représentant le gain algébrique. La difficulté réside dans la gestion du paramètre $k$ (le coût de la partie). Il faut être capable de dresser la loi de probabilité en exprimant les valeurs prises par $G$ en fonction de $k$.
• Calculer et interpréter l'espérance : Une compétence fondamentale est de savoir calculer l'espérance $E(G)$ pour déterminer si le jeu est favorable au joueur. Cela aboutit à la résolution d'une inéquation simple où l'inconnue est la mise de départ.
• Justifier et appliquer la Loi Binomiale : La dernière partie requiert de reconnaître un schéma de Bernoulli répété de manière indépendante. La rédaction doit être rigoureuse pour justifier les paramètres de la loi binomiale. Les questions suivantes demandent de calculer des probabilités ponctuelles ($P(X=k)$) et cumulées ($P(X \geqslant k)$), nécessitant souvent une bonne manipulation de la calculatrice.
• Inversion de la loi binomiale : La dernière question, demandant de trouver un entier $n$ pour atteindre un seuil de probabilité, teste la capacité de l'élève à utiliser les outils numériques ou les propriétés de la loi pour résoudre des problèmes de seuil.

En résumé, cet exercice permet de vérifier l'assimilation complète du chapitre sur les variables aléatoires discrètes et la loi binomiale, des incontournables du programme de Terminale.