Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Centres Étrangers, exercice 9) est un cas d'école de modélisation mathématique appliquée à la biologie et à l'optimisation des coûts de santé. Il illustre parfaitement comment les probabilités discrètes et l'analyse fonctionnelle s'articulent pour résoudre un problème concret : la méthode du dépistage groupé (pooling).

Partie A : Probabilités et Variable Aléatoire

La première partie demande de modéliser une expérience aléatoire liée à un test de dépistage sur un échantillon de personnes. L'élève doit maîtriser les notions de probabilités conditionnelles et d'indépendance (tirage avec remise). Le cœur du problème réside dans la définition de la variable aléatoire $X_n$, représentant le nombre d'analyses nécessaires.

Les points clés pour réussir cette partie sont :

• Comprendre la structure de l'épreuve : soit le mélange est négatif (1 test), soit il est positif (1 test + n tests individuels).
• Calculer la probabilité de l'événement « le test du mélange est négatif », qui correspond à l'intersection des événements « chaque individu est sain ». L'utilisation de l'événement contraire est souvent une stratégie gagnante ici.
• Dresser la loi de probabilité de $X_n$ et calculer son espérance mathématique. Ce calcul d'espérance servira de base pour comparer l'efficacité des méthodes dans la dernière partie.

Partie B : Étude de fonction logarithme

La seconde partie bascule vers l'analyse avec l'étude d'une fonction $f$ définie sur $[20; +\infty[$. Cette fonction servira d'outil pour résoudre l'inéquation issue de la partie probabiliste.

Les compétences requises incluent :

• Le calcul de dérivées : la fonction $f(x) = \ln(x) + x \ln(0,95)$ nécessite une dérivation soignée pour étudier ses variations. Attention au signe de $\ln(0,95)$ qui est négatif.
• Le calcul de limites : notamment l'utilisation des croissances comparées en $+\infty$.
• L'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : étape cruciale pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $f(x) = 0$.
• L'encadrement de la solution à l'aide de la calculatrice.

Partie C : Synthèse et Prise de décision

La dernière partie fait le lien entre les deux domaines. Il s'agit d'interpréter l'inégalité $E(X_n) < n$ (signifiant que la méthode groupée est plus efficace que la méthode individuelle) à la lumière de l'étude de la fonction $f$. L'élève doit être capable de transformer l'inéquation portant sur l'espérance en une inéquation faisant intervenir la fonction étudiée précédemment, pour finalement conclure sur la taille maximale de l'échantillon permettant de valider la pertinence du dépistage groupé.