Analyse de l'Exercice : Fonction Logarithme et Position Relative

Cet exercice de baccalauréat (Métropole 2021) propose une étude classique mais complète d'analyse réelle, centrée sur la fonction logarithme népérien. Il est structuré en deux parties interdépendante : l'étude d'une fonction auxiliaire pour déterminer un signe, puis l'application de ce résultat à l'étude de la position relative de deux courbes représentatives de fonctions plus complexes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Calcul de limites et croissances comparées : Il est nécessaire de connaître les limites usuelles en $0$ et $+\infty$, notamment la limite de $\frac{\ln(x)}{x^n}$ en $+\infty$ pour lever les formes indéterminées.
• Techniques de dérivation : La maîtrise de la dérivée de la fonction $\ln$ composée avec des fonctions rationnelles (forme $\frac{u}{v}$) est indispensable pour obtenir l'expression correcte de $h'(x)$.
• Étude des variations : Savoir lier le signe de la dérivée au sens de variation de la fonction est un standard de l'épreuve.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'exercice demande de prouver l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $h(x)=0$. Une rédaction rigoureuse (continuité, stricte monotonie, images aux bornes) est attendue, suivie d'un encadrement ou d'une vérification numérique.
• Lien entre signe et position relative : La Partie 2 repose sur la capacité à interpréter géométriquement le signe de la différence $f_1(x) - f_2(x)$. Si cette différence est positive, la courbe $\mathcal{C}_1$ est au-dessus de $\mathcal{C}_2$, et inversement.
• Calcul algébrique : La manipulation des expressions avec logarithmes pour montrer l'égalité $f_1(x) - f_2(x) = h(x)$ demande de l'aisance dans la simplification de fractions.

Cet exercice est un excellent entraînement car il synthétise l'utilisation d'une fonction auxiliaire pour résoudre un problème géométrique, une structure très fréquente dans les sujets de Spécialité Mathématiques.