Analyse de l'exercice : Géométrie analytique dans l'espace

L'exercice 2 du sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (zone Asie) est un classique incontournable de la géométrie dans l'espace. Basé sur l'étude d'un cube et d'un repère orthonormé associé, il permet d'évaluer la capacité des élèves à passer d'une vision géométrique pure à une résolution analytique par les coordonnées.

Ce problème est divisé en deux parties distinctes mais liées : la première se concentre sur la caractérisation d'un plan via son vecteur normal, tandis que la seconde exploite ces résultats pour travailler sur l'orthogonalité, les droites et les distances.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale :

• Lecture et détermination de coordonnées : Il est crucial de bien identifier l'origine et les vecteurs de base du repère fourni. Ici, le repère est lié aux arêtes du cube, mais attention aux coefficients (par exemple 1/8) qui définissent la norme des vecteurs unitaires. Une erreur d'inattention ici peut fausser tous les calculs ultérieurs.
• Démonstration d'un vecteur normal : Savoir montrer qu'un vecteur est normal à un plan en prouvant qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan (calcul de produits scalaires nuls). C'est la méthode standard pour valider l'orientation d'un plan.
• Équation cartésienne de plan : Une fois le vecteur normal identifié, l'élève doit être capable d'écrire l'équation sous la forme ax + by + cz + d = 0 et de déterminer la constante d en utilisant les coordonnées d'un point appartenant au plan.
• Représentation paramétrique d'une droite : La partie II demande de traduire la perpendicularité entre une droite et un plan. La clé est de savoir que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.
• Calcul de projeté orthogonal et distance : La dernière partie nécessite de résoudre un système d'équations (intersection de la représentation paramétrique de la droite et de l'équation cartésienne du plan) pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal. Enfin, le calcul de la distance point-plan (ou point-point une fois le projeté trouvé) conclut l'exercice.

Cet exercice est un excellent entraînement pour le Bac car il synthétise la majorité des formules et théorèmes de géométrie vectorielle. La rigueur dans les calculs algébriques est primordiale pour obtenir les points attribués.