Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Asie, juin 2021, sujet du 8 juin) propose une étude classique mais complète autour des équations différentielles et de la fonction exponentielle, appliquée à une situation de modélisation concrète (l'évolution de l'accès à internet dans les écoles).

1. Maîtrise des Équations Différentielles Linéaires

La première partie de l'exercice exige une connaissance solide de la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants, de la forme y' = ay + b. Les candidats doivent être capables de :

• Identifier une solution particulière constante.
• Restituer la forme générale des solutions (de type Ke^{at} - b/a).
• Utiliser une condition initiale (ici g(0) = 10) pour déterminer la constante unique et définir la fonction solution spécifique au problème.

2. Analyse de Fonction et Exponentielle

La seconde partie transforme le problème en une étude de fonction classique. La fonction étudiée, p(t), est l'inverse de la solution trouvée précédemment, introduisant une forme logistique (courbe en S). Les compétences requises incluent :

• Le calcul de limites en l'infini, nécessitant de connaître la limite de e^{-0,4t} lorsque t tend vers l'infini.
• Le calcul de dérivée composée. Il s'agit ici de dériver une fonction de type 1/u, ce qui demande de la rigueur pour obtenir le résultat sous la forme factorisée demandée.
• L'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI). C'est une étape cruciale pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation p(t) = 0,5. Il faut vérifier la continuité, la stricte monotonie et les images aux bornes de l'intervalle.
• L'utilisation de la calculatrice pour obtenir une valeur approchée (balayage ou encadrement).

3. Modélisation et Interprétation

La dernière partie fait le lien entre l'outil mathématique et le contexte réel. L'élève doit :

• Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle non linéaire (type logistique y' = ay(1-y)) par simple calcul algébrique.
• Interpréter les résultats mathématiques (limites, solution de l'équation p(t)=0,5) en termes concrets : saturation du marché, temps nécessaire pour atteindre 50% d'équipement, etc.

Cet exercice est un excellent entraînement pour voir comment les mathématiques modélisent des phénomènes d'évolution limités par une capacité maximale.