Analyse de l'exercice sur les suites numériques

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Polynésie, Sujet 1) propose une étude classique mais complète d'une suite arithmético-géométrique. Le problème est contextualisé par l'évolution d'une population animale, ce qui demande aux candidats de savoir alterner entre calculs théoriques et interprétations concrètes des résultats. Il s'agit d'un exercice type, très fréquent dans les épreuves du bac, qui permet de balayer une large partie du programme sur les suites.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtriser le raisonnement par récurrence

L'une des compétences centrales évaluées ici est la capacité à mener un raisonnement par récurrence rigoureux. L'élève doit démontrer une propriété de minoration ($u_n > 4000$) en respectant les trois étapes canoniques : l'initialisation, l'hérédité (en utilisant la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,95u_n + 200$) et la conclusion. C'est un point de passage obligé pour justifier la bonne définition de la suite dans son contexte.

2. Utiliser les théorèmes de convergence

Après avoir établi la monotonie (admise ici comme décroissante) et la minoration de la suite, le candidat doit mobiliser le théorème de convergence monotone. Il est essentiel de savoir rédiger correctement cet argument : "Toute suite décroissante et minorée est convergente". Cela permet d'affirmer l'existence d'une limite sans nécessairement la connaître à ce stade.

3. Passer par une suite auxiliaire géométrique

La méthode pour expliciter le terme général d'une suite arithmético-géométrique est standardisée. L'exercice introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - \text{constante}$. Les clés de réussite résident dans :

• La capacité à exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour prouver le caractère géométrique de la suite.
• L'identification correcte de la raison $q$ (ici 0,95) et du premier terme $v_0$.
• L'écriture de la forme explicite de $v_n$, puis la déduction de celle de $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calcul de limites et interprétation

La dernière partie mathématique requiert le calcul de la limite de la suite. Il faut savoir utiliser la propriété des limites de suites géométriques $q^n$ lorsque $-1 < q < 1$. Enfin, la dimension "modélisation" de l'exercice exige de confronter le résultat mathématique (la limite trouvée) à l'affirmation proposée dans l'énoncé. Il faut comparer la valeur limite au seuil critique de la population (la moitié de la population initiale) pour valider ou réfuter l'hypothèse de l'association.