Analyse de l'Exercice B : Suites et Fonction Logarithme - Bac Asie 2021

Cet exercice, issu de l'épreuve de spécialité mathématiques du Baccalauréat 2021 (zone Asie), est un classique de l'analyse. Il combine l'étude d'une fonction logarithme népérien avec l'analyse du comportement asymptotique d'une suite définie par récurrence. L'exercice est structuré en trois parties progressives, allant de la conjecture numérique à la démonstration rigoureuse de la convergence.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale :

• Lecture et interprétation de feuille de calcul : La première partie demande de comprendre la syntaxe des tableurs. Il est crucial de savoir traduire une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ en une formule de type =A2-LN(A2-1) ou utilisant les références de cellules adéquates (ici B2 pour calculer B3).
• Étude de fonction logarithme : La partie II est consacrée à la fonction $f(x) = x - \ln(x - 1)$. Les points clés incluent :
  • Le calcul de limites, notamment en $1$ (asymptote verticale) et en $+\infty$ (croissance comparée ou factorisation).
  • Le calcul de la dérivée. Ici, la fonction est composée. Il faut appliquer rigoureusement la formule de $(\ln(u))' = u'/u$.
  • L'étude du signe de la dérivée pour dresser le tableau de variation. Une attention particulière doit être portée au minimum de la fonction, qui jouera un rôle central dans la suite.
• Raisonnement par récurrence : C'est l'outil indispensable de la partie III. Il s'agit de démontrer que la propriété $u_n \geqslant 2$ est héréditaire. La clé réside dans l'utilisation de la croissance de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$, démontrée précédemment.
• Convergence des suites : L'élève doit savoir articuler le théorème de convergence monotone. Une fois la décroissance et la minoration de la suite établies, la convergence est assurée.
• Théorème du point fixe : Pour trouver la limite $\ell$, il faut résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$. Cela nécessite de manipuler l'équation logarithmique pour isoler l'inconnue.

Conseils méthodologiques

Une erreur fréquente dans ce type de sujet est de dissocier les parties. Ici, le minimum de la fonction $f$ trouvé en Partie II (qui est 2) sert de minorant pour la suite en Partie III. De même, la croissance de la fonction est l'argument principal pour l'étape d'hérédité de la récurrence. Il est donc essentiel de bien relire ses résultats précédents.

Enfin, lors de la résolution de l'équation finale $f(x) = x$, assurez-vous que la solution trouvée appartient bien à l'intervalle de définition et est cohérente avec les conjectures émises lors de l'étude du tableur.