Compétences et clés de réussite

Cet exercice de Baccalauréat, tiré de la session 2023 en Nouvelle-Calédonie (Sujet 1), est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité Mathématiques. Il aborde de manière synthétique l'étude des suites numériques, mêlant approche analytique et outil informatique.

1. Conjectures et Calculs Préliminaires

La première partie invite le candidat à se familiariser avec la suite définie par récurrence. Il est essentiel ici de savoir calculer les premiers termes sans erreur de calcul mental ou de signe. L'utilisation de la calculatrice est requise pour émettre une conjecture sur le sens de variation et la limite. C'est une compétence clé : savoir distinguer ce que l'on observe (conjecture) de ce que l'on prouve.

2. Le Raisonnement par Récurrence

L'exercice exige la maîtrise du raisonnement par récurrence pour démontrer une inégalité du type $u_n \geqslant n + 1$. Pour réussir cette question, il faut rédiger rigoureusement les trois étapes :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang initial.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $n$ et démontrer qu'elle l'est au rang $n+1$, en utilisant la relation de récurrence donnée.
• Conclusion : Conclure pour tout entier naturel.

Une fois l'inégalité prouvée, le candidat doit utiliser les théorèmes de comparaison (ici, le théorème de comparaison à l'infini) pour déterminer la limite de la suite.

3. Suite Auxiliaire et Passage à la Forme Explicite

C'est une structure classique des sujets de Bac : l'introduction d'une suite auxiliaire $(v_n)$ pour étudier $(u_n)$. L'objectif est de démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Pour cela, la méthode consiste à exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis d'utiliser la définition de $u_{n+1}$ pour factoriser et faire apparaître $v_n$. Une fois la nature de la suite identifiée (avec son premier terme et sa raison), on peut exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_n$. Cette étape permet ensuite d'étudier le sens de variation de façon formelle, en calculant la différence $u_{n+1} - u_n$ ou en dérivant la fonction associée si l'on passe par les réels.

4. Algorithmique et Python

La dernière partie teste la compréhension des boucles while (tant que). Il s'agit d'un problème de seuil : trouver le plus petit rang $n$ pour lequel la suite dépasse une certaine valeur ($10^7$). Le candidat doit être capable de compléter les instructions d'affectation de la variable u (relation de récurrence) et de la condition d'arrêt de la boucle. Il faut être vigilant sur le sens de l'inégalité dans la condition while : la boucle continue tant que la condition cible n'est pas atteinte.