Compétences et clés de réussite

1. Étude classique d'une fonction exponentielle

Cet exercice débute par une étude de fonction standard, indispensable pour réussir l'épreuve du Baccalauréat. La fonction étudiée est de la forme $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$. La première étape consiste à déterminer le comportement asymptotique de la courbe. Ici, l'élève doit manipuler l'expression pour faire apparaître une forme connue liée aux croissances comparées en $+\infty$. La maîtrise des limites usuelles de l'exponentielle est donc prérequise.

Ensuite, le calcul de la dérivée demande l'application rigoureuse de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Il est crucial de savoir factoriser par l'exponentielle (toujours strictement positive) pour étudier le signe de la dérivée. Cette étape permet de dresser le tableau de variations et d'identifier l'existence d'un extremum (ici un maximum).

2. Résolution d'équation et Théorème des Valeurs Intermédiaires

La question demandant le nombre de solutions pour $f(x) = k$ fait appel au Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), ou plus précisément à son corollaire concernant les fonctions strictement monotones. Pour obtenir tous les points, il est nécessaire de vérifier trois conditions : la continuité de la fonction, la stricte monotonie sur l'intervalle donné, et l'appartenance de la valeur cible à l'image de l'intervalle.

3. Convexité et Point d'inflexion

L'étude de la convexité repose sur l'analyse du signe de la dérivée seconde $f''(x)$, dont l'expression est donnée dans l'énoncé. L'élève doit être capable de résoudre une inéquation simple pour déterminer sur quel intervalle la fonction est convexe ou concave. Le point où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe correspond au point d'inflexion, notion clé pour comprendre la courbure de la courbe.

4. Problème géométrique et Optimisation

La dernière partie de l'exercice est plus originale et demande de faire le lien entre l'analyse et la géométrie. Elle implique l'équation de la tangente $T_a$ en un point d'abscisse $a$. L'objectif est d'étudier l'ordonnée à l'origine de cette tangente, notée $g(a)$.

Pour réussir cette partie, il faut :

• Savoir écrire l'équation réduite d'une tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Déterminer l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées (en posant $x=0$).
• Étudier les variations de la nouvelle fonction $g(a)$ ainsi obtenue.

Le résultat final établit une connexion élégante entre le maximum de cette ordonnée à l'origine et le point d'inflexion de la courbe initiale $\mathcal{C}_f$. C'est un excellent exemple de synthèse mathématique où la dérivée de la fonction auxiliaire $g$ fait réapparaître la dérivée seconde de $f$.