Compétences et clés de réussite

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat (Polynésie 2023, Sujet 1) est un classique de l'analyse fonctionnelle au lycée. Il mobilise des compétences centrales du programme de Terminale, notamment l'étude approfondie de la fonction exponentielle et l'application du calcul différentiel à la géométrie des courbes.

1. Étude de fonction et dérivée seconde (Partie A)

La première partie de l'exercice exige une maîtrise solide des outils d'analyse :

• Calcul de limites : Il faut savoir lever des indéterminations, souvent par croissances comparées (ici de la forme xe^-x en l'infini).
• Dérivée seconde et variations de f' : L'originalité ici est d'utiliser la dérivée seconde f'' non pas directement pour la convexité, mais pour étudier les variations de la dérivée première f'. Cela permet ensuite de déduire le signe de f' (positif dans ce cas) et donc la stricte croissance de la fonction f.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Pour démontrer l'unicité d'une solution à l'équation f(x) = 0, il est impératif de vérifier les hypothèses de continuité et de stricte monotonie sur l'intervalle donné.

2. Convexité et lien graphique (Partie B)

La seconde partie fait le lien entre l'algèbre et la représentation graphique :

• Conjecture et validation : L'élève doit savoir lire un graphique pour estimer des points d'inflexion (changement de concavité) et confirmer cette lecture par le calcul (annulation et changement de signe de la dérivée seconde).
• Identification de paramètres : Une compétence clé est de traduire des informations géométriques (passage par des points, tangente en un point) en équations algébriques. Ici, le fait que la droite (AB) soit tangente à la courbe en 0 permet de dresser un système d'équations pour trouver les inconnues a et b.

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de ne pas compartimenter les savoirs : la dérivation sert l'étude des variations, qui sert la résolution d'équations, tandis que la dérivée seconde éclaire la forme de la courbe (convexité). La rigueur dans la rédaction, notamment pour le corollaire du TVI, est un point de vigilance majeur pour les correcteurs.