Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet de Baccalauréat Métropole Septembre 2023 (Sujet 1) aborde deux thèmes majeurs du programme de spécialité mathématiques : les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires discrètes suivant une loi binomiale. L'exercice est divisé en deux parties indépendantes, permettant de tester des compétences distinctes mais complémentaires.

Partie A : Modélisation et conditionnement

Dans cette première partie, la situation est modélisée par un arbre de probabilités classique (maladie/test), mais avec une particularité importante : la probabilité de l'événement racine (être allergique) est une inconnue notée $x$. Pour réussir cette partie, il est essentiel de maîtriser les points suivants :

• Construction de l'arbre pondéré : Savoir placer les probabilités conditionnelles sur les branches secondaires et l'inconnue $x$ (ainsi que $1-x$) sur les branches primaires.
• Formule des probabilités totales : C'est la clé de la résolution. Il faut savoir exprimer la probabilité de l'événement final (Test positif) en fonction de $x$ en parcourant les chemins de l'arbre. Cela conduit à une équation du premier degré simple qu'il faut résoudre pour trouver la valeur de $x$.
• Probabilités inversées (Formule de Bayes) : La dernière question demande de calculer la probabilité d'être allergique sachant que le test est positif. Il s'agit d'appliquer la définition $P_T(A) = P(A \cap T) / P(T)$. L'interprétation correcte de l'énoncé est cruciale pour ne pas confondre $P_A(T)$ et $P_T(A)$.

Partie B : Loi Binomiale et échantillonnage

La seconde partie se concentre sur une variable aléatoire $X$ dans le cadre d'une répétition d'épreuves.

• Justification de la loi : Pour obtenir tous les points, il ne suffit pas de nommer la loi binomiale. Il faut justifier son utilisation en citant les critères : répétition d'expériences identiques et indépendantes (tirage avec remise), existence de deux issues (succès : être allergique, échec : ne pas l'être) et préciser les paramètres $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (probabilité du succès).
• Calcul de probabilités ponctuelles : L'élève doit savoir utiliser la formule du cours $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ou les fonctionnalités de la calculatrice pour déterminer $P(X=k)$.
• Calcul de probabilités cumulées avec seuil : La dernière question demande la probabilité qu'au moins 10 % des personnes soient allergiques. Une étape préliminaire est nécessaire : calculer 10 % de l'effectif total pour traduire la question en une inéquation sur la variable aléatoire (du type $P(X \ge k)$). La maîtrise de l'événement contraire ou de la fonction de répartition cumulative sur la calculatrice est ici indispensable pour effectuer le calcul numérique final.

En résumé, cet exercice demande une bonne aisance dans la manipulation algébrique des probabilités (gestion de l'inconnue $x$) et une rigueur dans la justification du modèle binomial.