Analyse de l'exercice : Modélisation et Suites Numériques

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Amérique du Nord, Sujet 2) propose une situation classique de modélisation de flux de populations entre deux entités, ici des clubs sportifs. Il s'agit d'un problème complet permettant d'évaluer la maîtrise des suites numériques, de la modélisation mathématique et de l'algorithmique.

Compétences et clés de réussite

1. Modélisation et conservation des effectifs

Le début de l'exercice demande de traduire un énoncé concret (pourcentages de transfert) en relations mathématiques. Une clé essentielle ici est de remarquer que la population totale est constante. L'élève doit savoir manipuler les coefficients multiplicateurs associés aux pourcentages d'augmentation et de diminution pour établir la relation de récurrence.

2. Raisonnement par récurrence

Une partie centrale de l'exercice repose sur la démonstration d'une double inégalité : 1200 ≤ a_{n+1} ≤ a_n ≤ 1700. Pour réussir cette question, il est impératif de maîtriser la structure du raisonnement par récurrence :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Utiliser la fonction associée à la suite (ici une fonction affine croissante) pour transmettre l'inégalité du rang n au rang n+1.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Cette étape permet ensuite de justifier la convergence de la suite grâce au théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge).

3. Passage par une suite auxiliaire géométrique

La technique classique pour étudier une suite arithmético-géométrique u_{n+1} = a u_n + b est mise en œuvre. L'exercice introduit une suite auxiliaire (v_n). Les candidats doivent savoir :

• Démontrer que la suite auxiliaire est géométrique en exprimant v_{n+1} en fonction de v_n.
• Exprimer le terme général v_n en fonction de n, puis en déduire l'expression explicite de a_n.
• Calculer la limite d'une suite géométrique dont la raison est comprise entre -1 et 1 (ici 0,75).

4. Interprétation et Algorithmique (Python)

La dernière partie relie les mathématiques pures à l'informatique. Il s'agit de compléter un script Python pour déterminer un seuil. La réussite dépend de la compréhension de la boucle while (tant que). L'élève doit identifier la condition d'arrêt correcte (tant que le nombre de membres est supérieur ou égal au seuil visé) et s'assurer de l'incrémentation correcte du rang n et de la mise à jour de la variable A selon la formule de récurrence établie précédemment.