Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet 2 du Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 2) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il mobilise l'ensemble des compétences liées à l'analyse de fonctions, en particulier celles impliquant la fonction exponentielle. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser l'articulation entre l'observation graphique et la démonstration algébrique rigoureuse.

1. Lecture graphique et interprétation géométrique

La première partie de l'exercice teste la capacité à extraire des informations d'une représentation graphique. Il ne s'agit pas seulement de lire des coordonnées, mais d'interpréter le nombre dérivé comme le coefficient directeur de la tangente. Le candidat doit savoir calculer une pente à partir de deux points (ici A et B) pour déterminer l'équation réduite de la droite $y = mx + p$. De plus, une intuition visuelle de la convexité (courbe au-dessus ou en dessous de ses tangentes) est requise pour anticiper les résultats de la partie C.

2. Étude analytique et calculs de dérivées

La partie B exige une maîtrise parfaite des règles de dérivation. La fonction proposée est de la forme $f(x) = \frac{1}{u(x)}$. Il est crucial de ne pas faire d'erreur de signe lors de l'application de la formule $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$, tout en gérant correctement la dérivée composée de l'exponentielle $(e^{-3x})'$. L'étude du signe de la dérivée pour justifier la stricte croissance est une étape standard mais fondamentale.

3. Limites et équations exponentielles

L'étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition (ici $\mathbb{R}$) nécessite de connaître les limites usuelles de l'exponentielle en $+\infty$ et $-\infty$. La résolution de l'équation $f(x) = 0,99$ fait appel aux propriétés algébriques du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $x$. C'est un test classique de manipulation d'égalités : passer de l'exponentielle au logarithme.

4. Convexité et point d'inflexion

La dernière partie se concentre sur la dérivée seconde. Bien que son expression soit donnée (ce qui permet de vérifier ses calculs intermédiaires ou de continuer l'exercice même en cas de blocage), l'analyse de son signe est primordiale. L'élève doit identifier le facteur qui détermine le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles de convexité et de concavité. La notion de point d'inflexion, point où la courbe traverse sa tangente et où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, est au cœur de la conclusion de l'exercice. Enfin, la position relative de la courbe par rapport à sa tangente se déduit directement de l'étude de la convexité.