Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Métropole 2023, Sujet 2) propose une étude classique mais rigoureuse d'une fonction logarithme, enrichie par une composante d'analyse graphique de sa dérivée.

1. Lecture graphique et lien entre $f$ et $f'$

L'originalité de cet exercice réside dans le fait que la courbe fournie n'est pas celle de la fonction $f$, mais celle de sa dérivée $f'$. Pour réussir, il est crucial de maîtriser les liens logiques suivants :

• Coefficient directeur : Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond graphiquement à l'ordonnée du point d'abscisse $a$ sur la courbe $C'$. Il ne faut pas confondre cela avec la pente de la tangente à $C'$.
• Convexité : La convexité de $f$ se déduit des variations de $f'$. Si la courbe $C'$ monte (la fonction dérivée est croissante), alors la fonction $f$ est convexe. Il faut donc être capable de lire les intervalles de croissance sur le graphique fourni.

2. Étude analytique de la fonction logarithme

La seconde partie de l'exercice demande de manipuler l'expression algébrique $f(x) = (2-\ln x) \times \ln x$. Les compétences requises incluent :

• Calcul de limites : Il faut connaître les limites usuelles de $\ln x$ en $0$ et en $+\infty$. Attention aux formes indéterminées et aux règles des signes lors des multiplications de limites infinies.
• Interprétation graphique : Savoir qu'une limite infinie en un point réel (ici en 0) traduit l'existence d'une asymptote verticale.
• Résolution d'équations : Pour trouver les intersections avec l'axe des abscisses, il faut résoudre $f(x) = 0$. Cela revient ici à une équation produit nul impliquant le logarithme.

3. Dérivation et variations

Le calcul de la dérivée $f'(x)$ nécessite l'utilisation de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Une erreur de signe ou de simplification ici peut compromettre le tableau de variations. La rigueur dans le calcul littéral est indispensable.

4. Convexité et point d'inflexion par le calcul

Enfin, l'exercice vérifie la capacité à passer de l'observation graphique au calcul exact via la dérivée seconde $f''(x)$. L'étudiant doit savoir étudier le signe d'une expression rationnelle pour déterminer les intervalles de convexité (signe de $f''$) et localiser précisément le point d'inflexion (là où $f''$ s'annule en changeant de signe).