Analyse et méthodologie pour réussir cet exercice de Bac

Cet exercice, tiré du Sujet 1 du Baccalauréat de mathématiques 2023 pour la zone La Réunion, propose une étude complète d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. Il s'agit d'un classique de l'épreuve, balayant un large spectre du programme de Terminale Spécialité Maths : analyse asymptotique, calcul différentiel, théorème d'existence de solutions, calcul intégral (via les primitives) et géométrie analytique (convexité).

Compétences et clés de réussite

Pour aborder sereinement cet exercice, voici les points techniques essentiels à maîtriser :

• Levée d'indéterminations sur les limites : L'expression $3x + 1 - 2x \ln(x)$ présente une forme indéterminée en $+\infty$. Il est nécessaire de factoriser par $x$ et d'utiliser les croissances comparées usuelles pour conclure. En 0, la connaissance des limites de référence du logarithme est indispensable.
• Calcul de dérivée : La fonction contient un produit $x \ln(x)$. La maîtrise de la formule de dérivation $(uv)' = u'v + uv'$ est cruciale pour obtenir l'expression demandée $f'(x) = 1 - 2\ln(x)$. Une erreur de signe ici compromettrait toute l'étude des variations.
• Étude de signe et variations : Une fois la dérivée calculée, il faut savoir résoudre l'inéquation $f'(x) > 0$ en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle pour isoler $x$. Cela permet de dresser le tableau de variations complet.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : La question sur l'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ est un standard. Il faut rédiger rigoureusement en vérifiant trois conditions : la continuité de la fonction, la stricte monotonie sur l'intervalle considéré, et l'appartenance de 0 à l'image de cet intervalle.
• Lien entre fonction et primitive : La question 4 piège souvent les candidats. Il ne faut pas chercher à calculer une primitive explicite, mais se rappeler le lien fondamental : les variations d'une primitive $F$ dépendent du signe de la fonction $f$. Ayant étudié le signe de $f$ grâce à $\alpha$ à la question précédente, la réponse se déduit logiquement.
• Convexité et inégalités : La dernière partie demande de calculer la dérivée seconde $f''$. L'étude de son signe permet de déterminer la convexité (concave ou convexe) et la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes. C'est une application directe du cours qui débouche souvent, comme ici, sur la démonstration d'une inégalité fonctionnelle.

En résumé, cet exercice de Bac Maths 2023 (La Réunion, Sujet 1) est un excellent entraînement pour valider la maîtrise de l'analyse réelle. Il demande de la rigueur dans la rédaction, notamment pour le TVI et l'interprétation géométrique de la convexité.