Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025 pour la zone Polynésie (Sujet 1) est un classique de l'analyse mathématique en Terminale. Il combine l'étude d'une famille de fonctions avec l'analyse d'une suite définie par des intégrales. Voici les points essentiels pour réussir cet exercice.

1. Étude de fonctions paramétrées

La première partie demande de maîtriser la dérivation des fonctions composées et des produits. La fonction $f_n(x) = x^n e^{-x}$ nécessite l'application rigoureuse de la formule $(uv)' = u'v + uv'$. L'élève doit être capable de factoriser la dérivée par l'exponentielle (toujours positive) pour étudier le signe du polynôme restant. La justification du tableau de variations implique une connaissance solide des limites de référence (croissances comparées en $+\infty$) et de l'évaluation des images.

2. Lien entre Intégrales et Suites

La seconde partie illustre le lien fort entre le calcul intégral et les suites numériques. Il est demandé d'interpréter géométriquement l'intégrale $I_n$ comme l'aire sous la courbe sur l'intervalle $[0; 1]$. La clé ici est de comprendre comment la position relative des courbes $\mathcal{C}_n$ (étudiée via l'inégalité $x^{n+1} \leqslant x^n$ sur $[0; 1]$) influe sur le sens de variation de la suite $(I_n)$.

3. Théorème de convergence et Intégration par Parties

Pour démontrer la convergence de la suite, il faut invoquer le théorème de la convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge). Le cœur technique de l'exercice réside dans l'utilisation de l'intégration par parties (IPP). C'est une compétence exigible fondamentale qui permet ici d'établir une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$. Une rédaction soignée est attendue pour identifier $u(x)$ et $v'(x)$.

4. Raisonnement par l'absurde et Algorithmique

L'exercice guide vers la détermination de la limite par un raisonnement logique fin (démonstration par l'absurde) plutôt que par un calcul direct de limite souvent complexe pour ce type d'intégrale. Enfin, la question sur Python teste la capacité à traduire une relation de récurrence mathématique en une boucle informatique. Il faut comprendre comment la liste se construit itérativement pour interpréter le résultat renvoyé par la fonction mystere.